1、高考资源网() 您身边的高考专家练典型习题提数学素养1(2019安徽省考试试题)已知椭圆C:1(ab0)的上顶点为P,右顶点为Q,直线PQ与圆x2y2相切于点M.(1)求椭圆C的方程;(2)若不经过点P的直线l与椭圆C交于A,B两点,且0,求证:直线l过定点解:(1)由已知得直线OM(O为坐标原点)的斜率kOM2,则直线PQ的斜率kPQ,所以直线PQ的方程为y,即x2y2.可求得P(0,1),Q(2,0),故a2,b1,故椭圆C的方程为y21.(2)证明:当直线l的斜率不存在时,显然不满足条件当直线l的斜率存在时,设l的方程为ykxn(n1),由,消去y整理得(4k21)x28knx4(n21
2、)0,(8kn)244(4k21)(n21)16(4k21n2)0,得4k21n2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.由0,得(x1,y11)(x2,y21)0,又y1kx1n,y2kx2n,所以(k21)x1x2k(n1)(x1x2)(n1)20,由得n1(舍),或n,满足.此时l的方程为ykx,故直线l过定点.2(2019南昌市第一次模拟测试)已知椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,P是C上的一个动点,且F1PF2面积的最大值为4.(1)求C的方程;(2)设C的左、右顶点分别为A,B,若直线PA,PB分别交直线x2于M,N两点,过点F1作以
3、MN为直径的圆的切线,证明:切线长为定值,并求该定值解:(1)设P(x0,y0),椭圆的半焦距为c.因为SF1PF2|F1F2|y0|2cbbc,所以bc4.又e,a2b2c2,所以a4,b2,c2,所以C的方程为1.(2)由(1)可知A(4,0),B(4,0),F1(2,0)由题可知,x02,且x04.设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则直线PA的方程为yk1(x4),令x2得y6k1,故M(2,6k1)直线PB的方程为yk2(x4),令x2得y2k2,故N(2,2k2)记以MN为直径的圆为圆D,则D(2,3k1k2)如图,过点F1作圆D的一条切线,切点为T,连接F1D,DT,则|F1
4、T|2|F1D|2|DT|2,所以|F1T|216(3k1k2)2(3k1k2)21612k1k2,又k1,k2,所以k1k2,由1,得y(x16),所以k1k2,则|F1T|21612k1k2161225,所以|F1T|5.故切线长为定值5.3(2019广州市调研测试)已知动圆C过定点F(1,0),且与定直线x1相切(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程;(2)过点M(2,0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P,Q,试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M),使得QNMPNM?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)法一:依题意知,动圆圆心C到定点F(1,0)的距离,与到定直线x1的
5、距离相等,由抛物线的定义,可得动圆圆心C的轨迹E是以F(1,0)为焦点,x1为准线的抛物线,其中p2.所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y24x.法二:设动圆圆心C(x,y),依题意得|x1|,化简得y24x,即为动圆圆心C的轨迹E的方程(2)假设存在点N(x0,0)满足题设条件由QNMPNM可知,直线PN与QN的斜率互为相反数,即kPNkQN0.易知直线PQ的斜率必存在且不为0,设直线PQ:xmy2,由,得y24my80.由(4m)2480,得m或m.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y24m,y1y28.由得kPNkQN0,所以y1(x2x0)y2(x1x0)0,即y1x2y2x1x
6、0(y1y2)0.消去x1,x2,得y1yy2yx0(y1y2)0,即y1y2(y1y2)x0(y1y2)0.因为y1y20,所以x0y1y22,所以存在点N(2,0),使得QNMPNM.4(2019福州市质量检测)已知抛物线C1:x22py(p0)和圆C2:(x1)2y22,倾斜角为45的直线l1过C1的焦点,且l1与C2相切(1)求p的值;(2)动点M在C1的准线上,动点A在C1上,若C1在A点处的切线l2交y轴于点B,设,求证:点N在定直线上,并求该定直线的方程解:(1)依题意,设直线l1的方程为yx,因为直线l1与圆C2相切,所以圆心C2(1,0)到直线l1:yx的距离d,即,解得p6
7、或p2(舍去)所以p6.(2)法一:依题意设M(m,3),由(1)知抛物线C1的方程为x212y,所以y,所以y,设A(x1,y1),则以A为切点的切线l2的斜率为k,所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0,则yxy112y1y1y1,即B点的坐标为(0,y1),所以(x1m,y13),(m,y13),所以(x12m,6),所以(x1m,3),设N点坐标为(x,y),则y3,所以点N在定直线y3上法二:设M(m,3),由(1)知抛物线C1的方程为x212y,设l2的斜率为k,A,则以A为切点的切线l2的方程为yk(xx1)x,联立得,x212k(xx1)x,因为144k248kx14x0,所以k,所以切线l2的方程为yx1(xx1)x,令x0,得B点坐标为(0,x),所以,所以(x12m,6),所以(x1m,3),所以点N在定直线y3上高考资源网版权所有,侵权必究!