1、高考资源网（） 您身边的高考专家练典型习题提数学素养1(2019安徽省考试试题)已知椭圆C：1(ab0)的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆x2y2相切于点M.(1)求椭圆C的方程；(2)若不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且0，求证：直线l过定点解：(1)由已知得直线OM(O为坐标原点)的斜率kOM2，则直线PQ的斜率kPQ，所以直线PQ的方程为y，即x2y2.可求得P(0，1)，Q(2，0)，故a2，b1，故椭圆C的方程为y21.(2)证明：当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件当直线l的斜率存在时，设l的方程为ykxn(n1)，由，消去y整理得(4k21)x28knx4(n21
2、)0，(8kn)244(4k21)(n21)16(4k21n2)0，得4k21n2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由0，得(x1，y11)(x2，y21)0，又y1kx1n，y2kx2n，所以(k21)x1x2k(n1)(x1x2)(n1)20，由得n1(舍)，或n，满足.此时l的方程为ykx，故直线l过定点.2(2019南昌市第一次模拟测试)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P是C上的一个动点，且F1PF2面积的最大值为4.(1)求C的方程；(2)设C的左、右顶点分别为A，B，若直线PA，PB分别交直线x2于M，N两点，过点F1作以
3、MN为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值解：(1)设P(x0，y0)，椭圆的半焦距为c.因为SF1PF2|F1F2|y0|2cbbc，所以bc4.又e，a2b2c2，所以a4，b2，c2，所以C的方程为1.(2)由(1)可知A(4，0)，B(4，0)，F1(2，0)由题可知，x02，且x04.设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则直线PA的方程为yk1(x4)，令x2得y6k1，故M(2，6k1)直线PB的方程为yk2(x4)，令x2得y2k2，故N(2，2k2)记以MN为直径的圆为圆D，则D(2，3k1k2)如图，过点F1作圆D的一条切线，切点为T，连接F1D，DT，则|F1
4、T|2|F1D|2|DT|2，所以|F1T|216(3k1k2)2(3k1k2)21612k1k2，又k1，k2，所以k1k2，由1，得y(x16)，所以k1k2，则|F1T|21612k1k2161225，所以|F1T|5.故切线长为定值5.3(2019广州市调研测试)已知动圆C过定点F(1，0)，且与定直线x1相切(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程；(2)过点M(2，0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P，Q，试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得QNMPNM？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)法一：依题意知，动圆圆心C到定点F(1，0)的距离，与到定直线x1的
5、距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹E是以F(1，0)为焦点，x1为准线的抛物线，其中p2.所以动圆圆心C的轨迹E的方程为y24x.法二：设动圆圆心C(x，y)，依题意得|x1|，化简得y24x，即为动圆圆心C的轨迹E的方程(2)假设存在点N(x0，0)满足题设条件由QNMPNM可知，直线PN与QN的斜率互为相反数，即kPNkQN0.易知直线PQ的斜率必存在且不为0，设直线PQ：xmy2，由，得y24my80.由(4m)2480，得m或m.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1y24m，y1y28.由得kPNkQN0，所以y1(x2x0)y2(x1x0)0，即y1x2y2x1x
6、0(y1y2)0.消去x1，x2，得y1yy2yx0(y1y2)0，即y1y2(y1y2)x0(y1y2)0.因为y1y20，所以x0y1y22，所以存在点N(2，0)，使得QNMPNM.4(2019福州市质量检测)已知抛物线C1：x22py(p0)和圆C2：(x1)2y22，倾斜角为45的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程解：(1)依题意，设直线l1的方程为yx，因为直线l1与圆C2相切，所以圆心C2(1，0)到直线l1：yx的距离d，即，解得p6
7、或p2(舍去)所以p6.(2)法一：依题意设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，所以y，所以y，设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0，则yxy112y1y1y1，即B点的坐标为(0，y1)，所以(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)，设N点坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上法二：设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，设l2的斜率为k，A，则以A为切点的切线l2的方程为yk(xx1)x，联立得，x212k(xx1)x，因为144k248kx14x0，所以k，所以切线l2的方程为yx1(xx1)x，令x0，得B点坐标为(0，x)，所以，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)，所以点N在定直线y3上高考资源网版权所有，侵权必究！