1、专题16双曲线1.双曲线中的常用规律(1)特殊三角形以实轴端点、虚轴端点、原点为顶点的三角形,边长分别为a,b,c;以焦点及双曲线上一点为顶点的三角形满足定义式;以焦点及渐近线上一点为顶点的三角形,中线为原点与渐近线上顶点的连线,可以与向量平行四边形加法法则相结合进行解题.(2)作焦点到渐近线的垂线,与原点形成直角三角形:焦点到渐近线的垂线长度为b;直角三角形三边长分别为a,b,c;以原点为顶点的锐角的正切值为渐近线斜率的绝对值.2.等轴双曲线实轴与虚轴长度相等的双曲线为等轴双曲线,其渐近线方程为y=x,离心率为e=.1.双曲线标准方程的设法(1)若已知双曲线过两点,焦点位置不能确定,可设方程
2、为mx2+ny2=1.(mn0).(2)当已知双曲线的渐近线方程为bxay=0,求双曲线方程时,可设双曲线方程为b2x2-a2y2=(0).(3)与双曲线-=1有相同的渐近线的双曲线方程可设为-=.2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程,只需要将双曲线的标准方程中的“1”改为“0”即可.1.双曲线渐近线夹角有两种情况,容易遗漏情况【案例】T6.因为两条渐近线夹角为60,所以其中一条渐近线的倾斜角为30或60,=或=,2.当双曲线与椭圆综合考查时,容易混淆双曲线中的a,b,c与椭圆中的a,b,c【案例】T3.椭圆中a,b,c满足a2=b2+c2,而双曲线中a,b,c满足a2=c2-b2.3
3、.容易忽略双曲线离心率的取值范围为e【案例】T7.当点A不在线段FF上时,在AFF中,所以ac0,b0)的一条渐近线为y=x,则C的离心率为_.考向二双曲线中的最值问题【典例】(2020全国卷)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:-=1的两条渐近线分别交于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.321.双曲线x2-4y2=4的焦点坐标为()A.(,0)B.(0,)C.(0,)D.(,0)2.已知双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,射线x=(y0)与双曲线C的渐近线交于点P,与双曲线C交于点Q,则F1PQ的面积为()A.B.C.5+D.5-
4、3.与椭圆C:+=1共焦点且过点的双曲线的标准方程为()A.x2-=1B.y2-2x2=1C.-=1D.-x2=14.已知三个数1,a,9成等比数列,则圆锥曲线+=1的离心率为()A.B.C.或D.或5.已知F1,F2是双曲线C:x2-=1(b0)的两个焦点,P是双曲线C左支上的一点,且PF1PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点.若点N恰好平分线段PF2,则双曲线C的焦距为()A.2B.2C.2D.46.已知双曲线C:-=1的实轴长为4,且两条渐近线夹角为60,则该双曲线的焦距为()A.B.8C.4或D.8或7.已知双曲线C:-=1的右焦点为F,过原点的直线l交双曲线C于A,B两点,且=
5、3,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.B.C.D.8.设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则+的最小值为()A.10B.11C.12D.139.已知F1,F2是双曲线-=1的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右支分别交于点A,B,若BF1=6a,F1BF2=60,则=()A.B.C.D.10.已知双曲线C:-=1(a0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线与直线4x+3y=0垂直,点M在C上,且=6,则=()A.2或14B.2C.14D.2或10专题16双曲线/真题再研析提升审题力/考向一【解析】由双曲线方程-=1可得其焦点在x轴上,
6、因为其一条渐近线为y=x,所以=,e=.答案:考向二B 双曲线C:-=1的两条渐近线方程为y=x,将x=a与双曲线渐近线方程联立,令D和E坐标分别为D(a,b),E(a,-b),所以ODE的面积为ab=8,所以c2=a2+b22ab=16,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以c4,则焦距2c的最小值为8./高考演兵场检验考试力/1.D双曲线x2-4y2=4,标准方程为:-y2=1,可得a=2,b=1,c=,所以双曲线的焦点坐标为(,0).2.B由题可得a=2,b=1,c=,渐近线方程为y=x,射线x=(y0)过点F2且垂直于x轴,所以=,=,所以|PQ|=,所以=2=.3.C设双曲线的方程为-
7、=1(a0,b0),根据题意得解得a2=b2=2,所以该双曲线的标准方程为-=1.4.D因为三个数1,a,9成等比数列,所以a2=9,则a=3.当a=3时,曲线方程为+=1,表示椭圆,则长半轴长为,半焦距为1,离心率为;当a=-3时,曲线方程为-=1,实半轴长为,半焦距为,离心率为=.5.C不妨取渐近线方程为y=bx,N是PF2中点,故NOPF1,故NOPF2,又OF2=c,故ON=a=1,PF1=2ON=2,PF2=PF1+2a=4,根据勾股定理:4c2=22+42,故c=,故焦距为2.6.D令-=0,则=,y=x,故双曲线C:-=1的渐近线方程为y=x,因为两条渐近线夹角为60,所以其中一
8、条渐近线的倾斜角为30或60,=或=,因为实轴长为4,所以a=2,当=时,b=,c=,焦距2c=;当=时,b=2,c=4,焦距2c=8,综上所述,该双曲线的焦距为8或.7.A因为直线AB和双曲线C都关于原点对称,所以A,B也关于原点对称,设F为左焦点,则F,F关于原点对称,所以|BF|=,因为|BF|=3|AF|,所以=3|AF|,所以-|AF|=2|AF|=2a,所以|AF|=a,=3a,当点A不在线段FF上时,在AFF中,所以ac2a,所以e=(1,2).当点A在线段FF上时,+|AF|=|FF|,所以4a=2c,所以e=2.综上所述,e(1,2.8.B由-=1得:a=2,b=,由双曲线定义可知:-=2a=4;-=2a=4,所以+=4+4+=8+,又为双曲线的焦点弦,所以最小时,AB为通径,所以=3,所以=8+3=11.9.B根据双曲线的定义可知=4a,设=x,则=6a-x,-=2a,所以=8a-x,所以在AF2B中,=x2+-2x4acos 60,所以x=4a,所以=2a,所以=.10.C双曲线C:-=1的渐近线为y=x,一条渐近线与直线4x+3y=0相互垂直,可得a=4,由双曲线的定义可得2a=8,因为=6,所以=14.关闭Word文档返回原板块
