1、2.4积化和差与和差化积公式(15分钟30分)1.求值:sin 20+sin 40+sin 60-sin 80 =()A.B.C. D.1【解析】选C.sin 20+sin 40+sin 60-sin 80=2sin 30cos(-10)+sin 60-sin 80=2sin 80+-sin 80=.【补偿训练】cos 40+cos 60+cos 80+cos 160的值为_.【解析】原式=cos 40+cos 80+cos 60-cos 20=2coscos+cos60-cos20=2cos60cos+cos60-cos20=cos60=.答案:2.在ABC中sin C=,则此三角形的形状是
2、()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.因为C=-(A+B),所以sin C=sin(A+B)=,所以2sincos=,所以2cos2=1,即cos(A+B)=0,所以A+B=,所以C=.故此三角形为直角三角形.3.函数y=sincos x的最大值为()A.B.C.1D.【解析】选B.因为y=sincos x=sin-,所以ymax=-=.4.函数y=cos x+cos的最大值是_.【解析】y=2coscos=cos,所以ymax=.答案:5.已知sin +sin =,cos +cos =,求tan的值.【解析】由sin +sin =,cos +cos =
3、得,2sincos=,2coscos=,两式相除得tan=,则tan=. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若sin +sin =(cos -cos )且(0,),(0,),则-等于()A.-B.-C.D.【解析】选D. 因为,(0,),所以sin +sin 0.所以cos -cos 0,cos cos ,又在(0,)上,y=cos x是减函数.所以,所以0-,由原式可知2sincos=,所以tan=,所以=,所以-=.2.在ABC中,若B=45,则cos Asin C的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选B.在ABC中B=45,所以cos Asin C=-sin,因
4、为-1sin1,所以cos Asin C.3.函数f(x)=sincos是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C.最小正周期为2的非奇非偶函数D.最小正周期为的非奇非偶函数【解析】选D.f(x)=sin+,所以T=,f(x)为非奇非偶函数.【补偿训练】已知函数f(x)=g(x)cos ,若函数f(x)是周期为的偶函数,则g(x)可以是()A.cos xB.sin xC.cosD.sin【解析】选D.当g(x)=cos x时,f(x)=cos xcos=cos+ ,此时f(x)是非奇非偶函数,周期为;当g(x)=sin x时,f(x)=sin xcos=sin-,此时f(x)是非
5、奇非偶函数,周期为;当g(x)=cos时,f(x)=coscos=-sin 2x+,此时f(x)是非奇非偶函数,周期为;当g(x)=sin时,f(x)=sincos=sin=cos 2x,此时f(x)是偶函数,周期为.4.(2020长沙高二检测)在ABC中,sin A+sin Bsin C的最大值为()A.+B.2C.D.【解析】选B.sin A+sin Bsin C=sin A+sin A+=sin A+cos A+=2,当且仅当sin B=sin C=,sin A=时,等号成立,因此sin A+sin Bsin C的最大值为2.【误区警示】注意三角形中三角之间的关系,要充分利用这一关系实现
6、多变角转化为一变角形式.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.设函数f(x)=sin+cos,则()A.y=f(x)的最小值为-,其周期为 B.y=f(x)的最小值为-2,其周期为C.y=f(x)在单调递增,其图象关于直线x=对称D.y=f(x)在单调递减,其图象关于直线x=对称【解析】选AD.f(x)=sin=sin=cos 2x,所以y=f(x)在内单调递减,周期为,又f=cos =-是最小值,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.6.满足sin 3x=cos x的x的值是()A. B. C. D. 【解析】选AB.由题意可得sin
7、 3x-sin=0,由和差化积公式可得2cossin=0,则方程的根满足:=k或=k+,整理可得x=+或x=k+,即方程的根为或.【光速解题】将选项A,B,C,D依次代入条件等式中进行检验即可.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知A+B=,那么1+(cos 2A+cos 2B)的最大值是_,最小值是_.【解题指南】利用和差化积公式进行化简的方法首先化简所求式子,然后根据已知角及角对应三角函数值的范围求解.【解析】因为A+B=,所以1+(cos 2A+cos 2B)=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+coscos(A-B)=1-cos(A-B),所以当cos(A-B)=-1时,原式
8、取得最大值;当cos(A-B)=1时,原式取得最小值.答案:8.(2020温州高一检测)函数y=sin-sinx的值域是_.【解析】y=sin-sin x=2cossin=cos.因为x,所以x+.故y.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列各式的值:(1)cos+cos-2sincos;(2)sin 138-cos 12+sin 54.【解析】(1)cos+cos-2sincos=2coscos-cos=2coscos-cos=cos-cos=0.(2)sin 138-cos 12+sin 54=sin 42-cos 12+sin 54=sin 42-sin 78+sin 54=-2cos 60sin 18+sin 54=sin 54-sin 18=2cos 36sin 18= =.10.已知A,B,C是ABC的三个内角,y=tan+,若任意交换两个角的位置,y的值是否变化?并证明你的结论.【解析】不变.因为A,B,C是ABC的三个内角,所以A+B+C=,=-.所以y=tan +=tan+=tan+tan+tan.因此,任意交换两个角的位置,y的值不变.形如的符号叫二阶行列式,现规定=a11a22-a21a12,如果f()=,0,求的值.【解析】因为=,所以f()=cos sin-sin cos=cos -sin =sin=,因为-,所以-=,所以=.
