1、专题限时集训(四)数列1(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为()A1 B2 C4 D8C设公差为d，a4a5a13da14d2a17d24，S66a1d6a115d48，联立，解得d4，故选C2(2015全国卷)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42 C63 D84Ba13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47.解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选B3(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10 C
2、10 D12B设等差数列an的公差为d，3S3S2S4，32a1d4a1d，解得da1，a12，d3，a5a14d24(3)10.故选B4(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16 B8 C4 D2C设正数的等比数列an的公比为q，则，解得，a3a1q24，故选C5(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏 C5盏 D9盏B设塔的顶层的灯数为
3、a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7381，解得a13.故选B6(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22nA设等差数列an的公差为d，解得ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故选A7(2020全国卷)数列an中，a12，amnaman，若ak1ak2ak1021525，则k()A2 B3 C4 D5C令m1，则由amnaman，得an1a1an，即a12，所以数列an是首项为2、公比为2的等比数列，所以an2n，所以ak1ak2ak10ak(a1
4、a2a10)2k2k1(2101)2152525(2101)，所以k15，解得k4，故选C8(2013全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4 C5 D6Can是等差数列，Sm12，Sm0，amSmSm12.Sm13，am1Sm1Sm3，dam1am1.又Sm0，a12，am2(m1)12，m5.9(2012大纲版)已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A B C DA设等差数列的公差为d，由题意可得，解得d1，a11.由等差数列的通项公式可得，ana1(n1)d1(n1)1n，.S10011，故选A10(
5、2012全国卷)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为()A3 690 B3 660 C1 845 D1 830D由于数列an满足an1(1)nan2n1，故有a2a11，a3a23，a4a35，a5a47，a6a59，a7a611，a50a4997.从而可得a3a12，a4a28，a7a52，a8a624，a11a92，a12a1040，a15a132，a16a1456，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列an的前60项和为1521 830，故选D11(2020全国卷)01周期序列在通
6、信技术中有着重要应用，若序列a1a2an满足ai0,1(i1,2，)，且存在正整数m，使得aimai(i1,2，)成立，则称其为01周期序列，并称满足aimai(i1,2，)的最小正整数m为这个序列的周期对于周期为m的01序列a1a2an，C(k)aiaik(k1,2，m1)是描述其性质的重要指标下列周期为5的01序列中，满足C(k)(k1,2,3,4)的序列是()A11010 B11011 C10001 D11001C对于A，因为C(1)，C(2)，不满足C(k)，故A不正确；对于B，因为C(1)，不满足C(k)，故B不正确；对于C，因为C(1)，C(2)0，C(3)0，C(4)，满足C(k
7、)，故C正确；对于D，因为C(1)，不满足C(k)，故D不正确综上所述，故选C12(2017全国卷)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是()A440 B330 C220 D110A设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3
8、组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为.由题意知，N100，令100n14且nN*，即N出现在第13组之后第n组的各项和为2n1，前n组所有项的和为n2n12n.设N是第n1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则第n1组的前k项的和2k1应与2n互为相反数，即2k12n(kN*，n14)，klog2(n3)n最小为29，此时k5，则N5440.故选A13(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和，若a1，aa6，则S5_.法一：设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1，又a1，所以q3，所以S5.法二：设等比数列an的公比为q，因为a
9、a6，所以a2a6a6，所以a21，又a1，所以q3，所以S5.14(2015全国卷)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首项为1，公差为1的等差数列1(n1)(1)n，Sn.15(2016全国卷)设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_64设等比数列an的公比为q，则由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)23n23n2n.记t(n27n)，结合nN*可知n3或4时，t有最大值6.又y
10、2t为增函数，从而a1a2an的最大值为2664.1(2020广州一模)已知an是等差数列，a35，a2a4a67，则数列an的公差为()A2 B1 C1 D2Dan是等差数列，a35，a2a4a67，设数列an的公差为d.，解得a11，d2.故选D2(2020长春二模)已知等差数列an中，3a52a7，则此数列中一定为0的是()Aa1 Ba3 Ca8 Da10A等差数列an中，3a52a7，3(a14d)2(a16d)，即a10.则此数列中一定为0的是a1.故选A3(2020包头一模)设等差数列an的前n项和为Sn，若a45，S981，则a10()A23 B25 C28 D29D由S99a5
11、81，得到a59，a45，da5a4954，a10a4(104)d56429，故选D4(2020南昌一模)已知an是等差数列，且a3a44，a7a88，则这个数列的前10项和等于()A16 B30 C32 D60Ba3a44，a7a88，a3a4a7a812，a1a10a3a8a4a76，S1030，故选B5(2020海南模拟)已知数列an为等比数列，a216，a164a4，数列的前n项和为Sn，则S6等于()A B C DA设数列an的公比为q，由题知，164q3，解得q，a164，8，所以数列是以8为首项，为公比的等比数列，所以S6，故选A6(2020通辽模拟)若正项等比数列an的公比q1
12、，且a3，a5，a6成等差数列，则等于()A B C DD由a3、a5、a6成等差数列，得到2a5a3a6，则2a1q4a1q2a1q5，由a10，q0，得到2q21q3，即(q1)(q2q1)0，又q1，q2q10，解得q或q(舍去)，则.故选D7(2020咸阳二模)已知数列a1，是首项为8，公比为的等比数列，则a3等于()A64 B32 C2 D4A由题意可得，8，a18，所以4即a232，2，所以a364.故选A8(2020青岛一模)已知数列an为等比数列，满足a3a116a7；数列bn为等差数列，其前n项和为Sn，且b7a7，则S13()A13 B48 C78 D156C等比数列an中
13、，a3a11a，可得a6a7，解得a76，数列bn是等差数列且b7a76，S1313(b1b13)13b778，故选C9(2020大同模拟)已知正项数列an满足aan1an2a0，an的前n项和为Sn，则()A B C DA依题意，由aan1an2a0，得(an12an)(an1an)0，an1an0，an12an0，即an12an，正项数列an是以2为公比的等比数列，S531a1，a3a1224a1，.故选A10(2020福州模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，a22，S728，则数列的前2 020项和为()A B C DA由等差数列前n项和公式可得，S77a428，所以a44，由，解得
14、，所以等差数列通项公式为an1(n1)1n，则.所以1，故选A11(2020衡水模拟)已知数列an的前n项和为Sn，则“an是等差数列”是“是等差数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件C因为an是等差数列，所以Snna1d ，所以a1d，反之，也成立，故选C12(2020咸阳模拟)设等比数列an的前n项和为Sn，若S52S10 ，则()A12 B16 C12 D16D由S52S10，可知q1，则(1q5)2(1q10)，1q5，q5，16，故选D13(2020深圳二模)在等差数列an中，Sn为其前n项的和，已知3a85a13，且a10，若Sn取得最大值，则
15、n为()A20 B21 C22 D23A由3a85a13，得3(a17d)5(a112d)，又a10，a1d，d0，Snna1ddn220dn.即当n20时，Sn有最大值故选A14(2020黄冈模拟)有两个等差数列2,6,10，190和2,8,14，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为()A15 B16 C17 D18B等差数列2,6,10，190，公差为4，等差数列2,8,14，200，公差为6，所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，其公差为12，首项为2，所以通项为an12n10，所以12n10190，解得n，又nN*，所以n
16、的最大值为16，即新数列的项数为16，故选B15(2020如皋中学模拟)已知命题：“在等差数列an中，若4a2a10a()24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为()A17 B18 C19 D20B设括号里的数为x，则4a2a10ax4(a1d)a19da1(x1)d6a1(12x)d，因为S1111a611(a15d)，所以要使得题目中的命题成立，则有12x30，解得x18，故选B16(2020唐山模拟)已知an为等差数列，若1，且数列an的前n项和Sn有最大值，则Sn的最小正值为()AS1 BS19 CS20 DS37D因为1，且数列an的前n项
17、和Sn有最大值，故a190，a200，a19a200，所以S3737a190，S3819(a19a20)0，即满足条件的Sn的最小正值为S37.故选D17(2020郑州模拟)设Sn是数列an的前n项和，且a11，Sn，则S10()A B C10 D10B由Sn，得an1SnSn1.又an1Sn1Sn，所以Sn1SnSn1Sn，即1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(n1)(1)n，所以10，所以S10，故选B18(2020西安模拟)假设如图所示的三角形数表的第n行的第二个数为an(n2，nN*)，则a70()122343477451114115A2 046 B2 416 C2
18、347 D2 486B由三角形数表可知：an1ann(n2)，a22，anan1n1(n3)，a3a22，ana2(a3a2)(anan1)223(n1)2，整理得：ann2n1(n3)，则a707027012 416.故选B19(2020西湖模拟)已知函数f(x)满足对任意的xR，f(3x)f(x)，若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a17)f(a24)，则an的前40项的和为()A80 B60 C40 D20B函数yf(x)对任意自变量x都有f(3x)f(x)，函数f(x)图象关于直线x对称，又数列an是公差不为0的等差数列，且f(a17)f(a24)，a17a24a1a403，S4
19、060.故选B20(2020淮安模拟)已知集合Mx|x3n，nN*，Nx|x2n，nN*，将集合MN的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列cn，则c1c2c3c35()A1 194 B1 695 C311 D1 095Dn35时，23570,3n70，n3，所以数列cn的前35项和中，3n有三项3,9,27，2n有32项，所以c1c2c3c35392732221 095.故选D21(2020临汾模拟)一个球从h米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，全程共经过()A米 B米 C3h米 D3h米D由于一个球从h米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落
20、下，当它第10次着地时，所行的路程为：h，h，第一次落地前行的路程和最后一次落地前行的路程都是单程Shhh3h3h.故选D22(2020河东区校级模拟)数列an满足a11，对nN*，都有an1a1ann，则()A B C DD由题意，可知an1ann1，即an1ann1.a2a12，a3a23，anan1n.各项相加，可得ana123n，ana123n123n，nN*，2，则 22222，故选D23(2020宜宾模拟)已知有穷数列an中，n1,2,3，729，且an(2n1)(1)n1，从数列an中依次取出a2，a5，a14，构成新数列bn，容易发现数列bn是以3为首项，3为公比的等比数列，记
21、数列an的所有项的和为S，数列bn的所有项的和为T，则()ASTBSTCSTDS与T的大小关系不确定A因为S1357(27291)12729，bn(3)(3)n1(3)n72921，所以n6，当n6时，b6729是an中第365项，符合题意，所以T546，所以ST，故选A24(2020朝阳区模拟)设无穷等比数列an的各项为整数，公比为q，且|q|1，a1a32a2，写出数列an的一个通项公式_an2n1(答案不唯一)根据题意，无穷等比数列an的各项为整数，则公比q必为整数，又由a1a32a2，即a1a1q22a1q，变形可得a1(1q)20，则a10，当a11，q2时，数列an的通项公式为an
22、2n1.25一题两空(2020密云区一模)在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_，第_天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院1621某医院一次性收治患者127人第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为a512416，Sn127，解得n7，第71512
23、1天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院26. (2020大连模拟)已知等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有，则_.27(2020郑州模拟)已知正项数列xn满足xn2，n1,2,3，若x11，x22，则x2 020_.1根据题意，数列xn满足xn2，若x11，x22，则x32，x41，x5，x6，x71，x82，则数列xn的周期为6，x2 020x43366x41.28(2020深圳二模)已知Sn为数列an的前n项和，若Sn2an2，则S5S4_.32因为Sn为数列an的前n项和，若Sn2an2，则a12a12a12；则Sn12an12，得：an2an2a
24、n1an2an1数列an是首项为2，公比为2的等比数列；故an2n，S5S42532.29(2020福建模拟)数列an满足a14a29a3n2an2n(n1)记不超过x的最大整数为x，如0.90，0.91.设bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，若Sn0，则n的最小值为_8依题意，由a14a29a3n2an2n(n1)，可得a14a29a3(n1)2an12(n1)n，两式相减，可得n2an2n(n1)2(n1)n4n，an，nN*.bnlog2an2log2n，若Sn0，则n的最小值为8.30一题两空(2020宝鸡二模)数列an满足a12a23a3nan2n1(nN*)，则an_.若存
25、在nN*使得an成立，则实数的最小值为_a12a23a3nan2n1，a12a23a3(n1)an12n11(n2)，得：nan2n2n12n1，an(n2)，又a1211，满足an，an，若存在nN*使得an成立，即若存在nN*使得成立，设f(n)，nN*，f(n1)f(n)0，f(n1)f(n)，对任意nN*，f(n)递增，f(n)minf(1)，的最小值为.31(2020开封模拟)已知正项数列an满足a1，aa2n，nN*，Tn为an的前n项的积，则使得Tn218的n的最小值为_9正项数列an满足a1，aa2n，nN*，可得：aa21，aa22 ，aa23，aa2n1，累加可得：a2222232n122n，an2，Tn为an的前n项的积，Tna1a2a3an22n2，Tn218，可得2218，nN*，即n2n720，解得n8，故n的最小值为9.
