1、第三课时定点、定值、存在性专题选题明细表知识点、方法题号定点问题3,4定值问题2,6存在性问题1,5,71.已知抛物线C:y=2x2,直线l:y=kx+2交C于A,B两点,M是AB的中点,过M作x轴的垂线交C于N点.(1)证明:抛物线C在N点处的切线与AB平行;(2)是否存在实数k,使以AB为直径的圆M经过N点?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0.所以x1+x2=,xN=xM=,所以N(,).因为(2x2)=4x,所以抛物线在N点处的切线斜率为k,故该切线与AB平行.(2)解:存在.假设
2、存在实数k,使以AB为直径的圆M经过N点,则|MN|=|AB|.由(1)知yM=(y1+y2)=(kx1+kx2+4)=+2,又因为MN垂直于x轴,所以|MN|=yM-yN=,而|AB|=|x1-x2|=,所以=,解得k=2.所以存在实数k=2使以AB为直径的圆M经过N点.2.已知椭圆C:+=1(ab0)过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.(1)解:由题意知,a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.因为c=,所以椭圆C的离心率e=.(2)证
3、明:设P(x0,y0)(x00,y0b0)的离心率为,F1,F2分别为其左、右焦点,P为椭圆C上一点,且F1PF2的周长为4+2.(1)求椭圆C的方程;(2)过点A(4,0)作关于x轴对称的两条不同的直线l1,l2,若直线l1交椭圆C于一点M(x1,y1),直线l2交椭圆C于一点N(x2,y2),x1x2,证明:直线MN过定点.(1)解:根据椭圆的离心率为,及F1PF2的周长为4+2,可得解得所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设直线MN的方程为x=ny+m(n0).联立方程组整理得(n2+4)y2+2nmy+m2-4=0,所以y1+y2=,y1y2=.因为过点A(4,0)的关于x轴对称
4、的两条不同直线l1,l2的斜率之和为0,所以+=0,即+=0,所以2ny1y2+m(y1+y2)-4(y1+y2)=0,所以-+=0,所以m=1.所以直线MN的方程为x=ny+1,所以直线MN过定点(1,0).4.已知圆O:x2+y2=4,点 F(1,0),P为平面内一动点,以线段FP为直径的圆内切于圆O,设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)M,N是曲线C上的动点,且直线MN经过定点(0,),问在y轴上是否存在定点Q,使得MQO=NQO?若存在,请求出定点Q;若不存在,请说明理由.解:(1)设PF的中点为S,切点为T,连OS,ST,则|OS|+|SF|=|OT|=2,取F关于y
5、轴的对称点F,连FP,故|FP|+|FP|=2(|OS|+|SF|)=4.所以点P的轨迹是以F,F为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=1,b=,曲线C的方程为+=1.(2)存在.假设存在满足题意的定点Q,设其坐标为(0,m).当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y,得(3+4k2)x2+4kx-11=0.由于直线l恒过椭圆内一点(0,),故=(4k)2+44(3+4k2)0,由根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,由MQO=NQO,得直线MQ与NQ的斜率和为零,故+=+=0,则2kx1x2+(-m)(x1+x2)=2k+(
6、-m)=0,则m=6.所以Q的坐标为(0,6).当斜率不存在时(0,6)也符合题意.故存在定点Q(0,6),使得MQO=NQO.5.已知椭圆:+=1(ab0)的离心率为,椭圆上的点到左焦点的最小值为2-.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线x=1与x轴交于点M,过点M的直线AB与交于A,B两点,点P为直线x=1上任意一点,设直线AB与直线x=4交于点N,记PA,PB,PN的斜率分别为k1,k2,k0,则是否存在实数,使得k1+k2=k0恒成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.解:(1)椭圆上的左顶点到左焦点的距离最小为2-=a-c,依题意得解得故椭圆的方程为+y2=1.(2)存在.M(
7、1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),P(1,t).若直线AB与x轴不重合,设直线AB的方程为x=my+1,则点N(4,),k0=,将x=my+1代入椭圆方程整理得(m2+4)y2+2my-3=0,显然0,则y1+y2=-,y1y2=-,k1+k2=+=2=2k0.若直线AB与x轴重合,则B(-2,0),A(2,0),N(4,0),此时k1+k2=+=-t,而k0=-t,故k1+k2=2k0.综上所述,存在实数=2符合题意.6.已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为2,且C过点(,).(1)求椭圆C的方程;(2)设B1,B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点,P是椭圆上异于B1,B2的任意一
8、点,过点P作PMy轴于M,N为线段PM的中点,直线B2N与直线y=-1交于点D,E为线段B1D的中点,O为坐标原点,则是否为定值?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.解:(1)由题意知焦距为2,所以c=,又因为椭圆过点(,),把此点坐标代入椭圆方程得+=1,又因为a2=b2+c2,解得a=2,b=1,故所求椭圆C的方程是+y2=1.(2)是定值.设P(x0,y0),x00,则M(0,y0),N(,y0),因为点P在椭圆C上,+=1,即=4-4,又B2(0,1),所以直线B2N的方程为y-1=x,令y=-1,得x=,所以D(,-1),又B1(0,-1),E为线段B1D的中点,所以E(,-1),
9、所以=(,y0),=(-,y0+1),所以=-+y0(y0+1)=-+y0=1-+y0=1-y0-1+y0=0,故为定值0.7.已知椭圆方程C:+=1(ab0),椭圆的右焦点为(1,0),离心率为e=,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点,且kOAkOB=-.(1)求椭圆的方程及AOB的面积;(2)在椭圆上是否存在一点P,使OAPB为平行四边形?若存在,求出|OP|的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)由已知c=1,=,所以a=2,所以b2=a2-c2=3.所以椭圆的方程为+=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标满足消去y,化简得(3+4k2)x2+8kmx+4
10、m2-12=0,x1+x2=-,x1x2=,b2-4ac0得4k2-m2+30,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2+km(-)+m2=.因为kOAkOB=-,所以=-,即y1y2=-x1x2,所以=-,即2m2-4k2=3,因为|AB|=.O到直线y=kx+m的距离d=,所以SAOB=d|AB|=.(2)不存在.理由如下:若在椭圆上存在P使OAPB是平行四边形,则=+,设P(x0,y0),则x0=x1+x2=-,y0=y1+y2=,由于P在椭圆上,所以+=1,即+=1,化简得16k2m2+12m2=(3+4k2)2.由kOAkOB=-,知2m2-4k2=3.联立方程知m=0,故在椭圆上不存在P使OAPB为平行四边形.
