1、模块素养检测(二)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.在四边形ABCD中,+=()A.B.C.D.【解析】选D.在四边形ABCD中,+=+=+=.2.(2019全国卷)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选B.设夹角为,因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2,所以cos =,又0,所以a与b的夹角为.【补偿训练】若=1,=,且a,则向量a,b的夹角为()A.45B.60C.120D.135【解析】选A.由=1,=
2、,且a,得a=0a2=ab=1,则cos =,又0180,得=45,所以向量a,b的夹角为45.3.已知(0,),2sin -cos =1,则sin=()A.B. C. D. 【解析】选B.由题得2sin -1=cos ,所以4sin2-4sin +1=cos2,所以4sin2-4sin +1=1-sin2,所以5sin2-4sin =0,所以sin =0(舍)或sin =,所以cos =,所以1-2sin2=,所以sin=.【补偿训练】已知sin =,则cos =()A.-B.-C.D.【解题指南】观察已知角与待求的角之间的特殊关系,运用余弦的二倍角公式和诱导公式求解.【解析】选A.令-=,
3、则-2=2,+2=-2,所以cos 2=1-2sin 2=1-2=,所以cos =cos =-cos 2=-.4.已知a=cos 1-sin 1,b=2cos 222.5-,c=,则a,b,c的大小顺序为()A.bacB.cbaC.cabD.bca【解题指南】由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式,正切函数的和角公式求得.【解析】选B.a=cos 1-sin 1=sin 441.【补偿训练】函数f(x)=sin -cos 的最小正周期为()A.B.C.2D.4【解析】选D.函数f(x)=sin -cos =sin,所以函数的最小正周期为T=4.5.已知向量a,b满足2a+b=(1,2m)
4、,b=(1,m),且a在b方向上投影的数量是,则实数m=()A.B.C.2D.2【解析】选D.向量a,b满足2a+b=,b=,所以a=,ab=,=,所以5m4-16m2-16=0,即=0,解得m=2.【补偿训练】已知平面内不在同一条直线上的四点O,A,B,C满足=,若=+(R),则=()A.1B.2C.-1D.-2【解题指南】根据向量的加法原理对已知表示式转化为所需向量的运算对照向量的系数求解.【解析】选D.根据向量的加法法则得=+=+=+,所以+=1,+=0,解得=.且=-2.6.已知,sin =,则tan 2=()A.B.-C.D.-【解题指南】根据同角三角函数关系可求得tan ;由二倍角
5、的正切公式可求得结果.【解析】选C.因为,sin =,所以tan =.所以tan 2=.【补偿训练】 (2016浙江高考)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关【解析】选B.f(x)=sin2x+bsin x+c=+bsin x+c=-+bsin x+c+,其中当b=0时,f(x)=-+c+,此时周期为;当b0时,周期为2,而c不影响周期.7.(2020南充高一检测)体育品牌Kappa的LOGO为,可抽象为:如图背靠背而“坐”的两条优美的曲线,下列函数中大致可“完美
6、”局部表达这对曲线的是()A.f(x)=B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=【解析】选D.因为B、C两个函数均是奇函数,故不符合题意;对A:当x趋近于0,且足够小时,f(x)0.8.已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.如图,建立平面直角坐标系,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|+3|=(0yb),所以当y=b时,|+3|取得最小值5.【补偿训练】已知f(x)=asin x+bcos
7、 x,g(x)=2sin+1,若函数f(x)和g(x)有完全相同的对称轴,则不等式g(x)2的解集是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)【解析】选B.f=asin x+bcos x=sin(x+),所以=1 ,因此2sin+12sin+2kx+2k(kZ) -+2kx0)的最小正周期为.(1)求函数f(x)的单调递增区间.(2)画函数f(x)在区间0,上的图像.【解析】(1)由函数f(x)=(sin x+cos x)cos x+(0),得f(x)=sin (2x+)+1,由周期为得=1,故f(x)=sin+1,由-+2k2x+2k,kZ得-+kx+k,kZ,所以函数f(x)的单
8、调递增区间为,kZ.(2)由“五点画图法” 列表如下:得函数图像如图:20.(12分)已知ABC为等边三角形,AB=2.点N,M满足=,=,R.设=a,=b.(1)试用向量a和b表示,.(2)若=-,求的值.【解题指南】(1)根据向量线性运算法则可直接求得结果.(2)根据(1)的结论将已知等式化为ab-a2-b2=-;根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于的方程,解方程求得结果.【解析】(1)=-=-=a-b,=-=-=b-a.(2)=ab-a2-b2=-,因为ABC为等边三角形且AB=2,所以=2,=60,所以ab-a2-b2=4cos 60-4-4=-,即42-4+1=0,解得=.21.
9、(12分)已知A,B,C分别为ABC的三边a,b,c所对的角,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),且mn=sin 2C.(1)求角C的大小.(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且(-)=18,求边c的长.【解析】(1)由已知得mn=sin Acos B+cos Asin B=sin (A+B),因为A+B+C=,所以sin (A+B)=sin (-C)=sin C,所以mn=sin C,又mn=sin 2C,所以sin 2C=sin C,因为sin C0,所以cos C=.又0C0),函数f(x)=ab+的图像的两相邻对称轴间的距离为.(1)求
10、的值.(2)若x,f(x)=-,求cos 4x的值.(3)若cos x,x(0,),且f(x)=m有且仅有一个实根,求实数m的值.【解析】由题意,得f(x)=sin xcos x-cos 2x+=sin 2x-+=sin 2x-cos 2x=sin.(1)因为两相邻对称轴间的距离为,所以T=, 所以=2.(2)由(1)得,f(x)=sin=-,因为x,所以4x-,所以cos=-,所以cos 4x=cos=coscos -sinsin =-=-+.(3)因为cos x,且余弦函数在(0,)上是减函数,所以x,令g(x)=m,f(x)=ab+=sin,在同一直角坐标系中作出两个函数的图像(图略),可知m=1或m=-.【补偿训练】已知函数f(x)=sin cos -sin 2.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间-,0上的最小值.【解析】(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)=sin-,所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为-x0,所以-x+.当x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间-,0上的最小值为f=-1-.
