1、3.2.3直线与平面的夹角课时目标1.了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念.2.了解三个角，1，2的意义，会利用公式cos cos 1cos 2求平面的斜线与平面内的直线的夹角.3.会利用向量的方法求斜线和平面所成的角1线线角、线面角的关系式(如图)cos _.2直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为_(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为_(3)斜线和它在平面内的_叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)3直线和平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的_所成的角，其范围是_，斜线与平面所成的角是这条直线
2、与平面内的一切直线所成角中_的角直 线和平面所成的角可以通过直线的_与平面的_求得，若设直线与平面所成的角为，直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则有sin _.一、选择题1如果BC平面M，斜线AB与平面M所成的角为，ABC，AA平面M，垂足为A，ABC，那么()Acos cos cos Bsin sin sin Ccos cos cos Dcos cos cos 2如果APBBPCCPA60，则PA与平面PBC所成角的余弦值为()A. B. C. D.3平面的一条斜线段长是它在平面内射影长的2倍，则斜线与平面所成角的大小为()A30 B60 C45 D1204如图所示，在正方体ABCDA1
3、B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90，则PMN的大小是()A等于90B小于90C大于90D不确定5若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150，则直线l与平面所成的角等于()A30 B60 C150 D以上均错6如果一个平面与一个正方体的12条棱所在的直线都成相等的角，记作，那么sin 的值为()A. B. C. D1题号123456答案二、填空题7平面外两点A，B到平面的距离分别为1和2，AB在上的射影长为，则直线AB和平面所成的角为_8正方形ABCD的边长为a，PA平面ABCD，PAa，则直线PB与平面PAC所成的角为_9在正三棱柱ABCA1B
4、1C1中侧棱长为，底面边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是_. 三、解答题10.如图所示，在直三棱柱ABOABO中，OO4，OA4，OB3，AOB90，D是线段AB的中点，P是侧棱BB上的一点，若OPBD，求OP与底面AOB所成角的正切值11.如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值能力提升12已知AB为平面的一条斜线，B为斜足，AO，O为垂足，BC为内的一条直线，AB与平面所成的角为，OBC，求ABC.13如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，点D是A1B1的中点，点
5、E在A1C1上，且DEAE.(1)证明：平面ADE平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值直线与平面所成角的求法(1)传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得(2)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin |cos |或cos sin .(3)如图所示，利用公式cos cos 1cos 2，求cos 1，尽而求出1.32.3直线与平面的夹角知识梳理1cos 1cos 22(1)90(2)0(3)射影所成的角3射影最小方向向量法向量|cos |作业设计1
6、A2D如图，设A在平面BPC内的射影为O.APBAPC.点O在BPC的角平分线上，OPC30，APO为PA与平面PBC所成的角cosAPBcosAPOcosOPC即cos 60cosAPOcos 30，cosAPO.3B4AA1B1平面BCC1B1，A1B1MN，()0，MPMN，即PMN90.也可由三垂线定理直接得MPMN.5B当直线l的方向向量与平面的法向量n的夹角n，小于90时，直线l与平面所成的角与之互余6B由于两条平行直线和同一平面所成的角相等，则在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1BC1满足和十二条棱所在直线成等角，又B1D平面A1BC1，垂足为O，则O为A1BC1的中心，
7、且B1OB1D，设正方体棱长为a，则B1Oa，所以sin .730或60解析分A，B在的同侧或异侧两种情形讨论8309.解析在正三棱柱ABCA1B1C1中，取AC的中点O，OBAC，则OB平面ACC1A1，BC1O就是BC1与平面AC1的夹角以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则O(0,0,0)，B，C1，.cos，.，即BC1与平面ACC1A1的夹角为.10解如图，以O点为原点建立空间直角坐标系，则B(3,0,0)，D.设P(3,0，z)，则，(3,0，z)BDOP，4z0，z.P.BB平面AOB，POB是OP与底面AOB所成的角tanPOB，故OP与底面AOB所成角的正切值为.11解
8、由题设条件知，可建立以AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴的空间直角坐标系(如图所示)设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)(0,0,1)，(1，1,1)显然是底面ABCD的法向量，它与已知向量的夹角90，故有sin |cos |，于是cos .12解如图，过O作OCBC，C为垂足，连结AC，由于AO，由三垂线定理知BCAC，在RtABO中，ABO，AOOBAB，在RtOBC中，OBC，BCOCOBABAB，在RtABC中，cosABC，ABC.13(1)证明由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知AA1平面A1B1C1.又DE平面A1B1C1，所以DEAA1，而DEAE，AA1AEA，所以DE平面ACC1A1，又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1.(2)解如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设AA1，则AB2，A(0，1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.易知(，1,0)，(0,2，)，(，)设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，z)，则有解得xy，zy，故可取n(1，)所以cosn，.由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.
