1、第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学 习 目 标核 心 素 养1进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系(重点)2能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题(难点)1通过直线与椭圆位置关系的判断，培养学生的逻辑推理核心素养2通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养1点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上1；点P在椭圆内部12直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解b0
2、)，所以依题意有c，a3，所以b2a2c232()27，所以所求的椭圆方程为1(2)由得16x218mx9m2630，由(18m)2416(9m263)0得m216，则4m4，所以当m4,4时，直线与椭圆C有公共点代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；0直线与椭圆相离.提醒：注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.1(1)若直线ykx2与椭圆1相切，则斜率k的值是()A BC DC由得(3k22)x212kx60，由题意知144k224(3k2
3、2)0，解得k(2)直线ykxk1(kR)与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，则m的取值范围是_直线yk(x1)1恒过定点P(1,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1,1)在椭圆内或在椭圆上所以1，即m，又0mb0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得，即kAB2(1)已知点P(4,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点，则直线l的方程为_x2y80由题意可设直线l的方程为y2k(x4)，而椭圆的方程可以化为x24y2360将直线方程代入椭圆方程有(4k21)x28k(4k2)x4(4k2)2360设直线l与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2
4、，y2)，所以x1x28，所以k所以直线l的方程为y2(x4)，即x2y80(2)已知点P(4,2)是直线l：x2y80被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点，则该椭圆的离心率为_设椭圆方程为1(ab0)，直线x2y80与椭圆交于A，B两点，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得0，即因为kAB，AB中点为(x0，y0)，x04，y02，所以2，即a24b2所以该椭圆的离心率为e(3)已知椭圆C的焦点分别为F1(2，0)，F2(2，0)，长轴长为6，设直线yx2交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点求线段AB的中点坐标；求OAB的面积解设椭圆C的方程为1，由题意a3，c2，于是b1，所以椭圆C
5、的方程为y21由得10x236x270因为该一元二次方程的0，所以点A，B不同，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2(x12)(x22)，故线段AB的中点坐标为设点O到直线yx2的距离为d，则d又由知x1x2，所以|AB|，故SOAB与椭圆有关的综合问题探究问题1直线ykx1表示过点(0,1)且斜率存在的直线，即不包含直线x0，那么直线xky1表示什么样的直线？提示直线xky1，表示过点(1,0)且斜率不为0的直线，即不包含直线y02如果以线段AB为直径的圆过点O，那么可以得到哪些等价的条件？提示(1)设AB的中点为P，则|OP|AB|(2)0【例3】如图所示，已知椭圆E
6、：1(ab0)过点(0，)，且离心率e(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：xmy1(mR)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由思路探究：(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a2b2c2即可求出a，b，c的值，从而可得椭圆E的方程(2)法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G与圆心的距离d与圆的半径r进行比较，若dr，则点G在圆外；若dr，则点G在圆上；若d0，则点G在圆外；若0，所以|GH|故点G在以线段AB为直径的圆外法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，从而y1y2y1y2(m21
7、)y1y2m(y1y2)0，所以cos，0又，不共线，所以AGB为锐角故点G在以线段AB为直径的圆外解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论.(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单.(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视.3椭圆的两个焦点坐标分别为F1(，0)和F2(，0)，且椭圆过点(1)求椭圆方程；(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断MAN的大小是否为定值，并说明理由解(1)由题意设椭圆方程1(ab0)，由c，a2
8、b2c2，代入方程1，又椭圆过点，得1，解得b21，a24椭圆的方程为y21(2)设直线MN的方程为xky，联立直线MN和曲线C的方程可得得(k24)y2ky0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2,0)，y1y2，y1y2，则(x12，y1)(x22，y2)(k21)y1y2k(y1y2)0，即可得MAN解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2
9、，y1y2，进而求解1已知点(2,3)在椭圆1上，则下列说法正确的是()A点(2,3)在椭圆外B点(3,2)在椭圆上C点(2，3)在椭圆内D点(2，3)在椭圆上D由椭圆的对称性知，点(2，3)在椭圆上，故选D2过椭圆x22y24的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()ABC DB椭圆的方程可化为1，F(，0)又直线AB的斜率为，直线AB的方程为yx由得7x212x80设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|3已知P(1,1)为椭圆1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_x2y30易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦的端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，则1，1，得0，x1x22，y1y22，y1y20，k此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y304焦点分别为(0,5)和(0，5)的椭圆截直线y3x2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程解设1(ab0)依题意，有a2b2(5)250由消去y并整理，得(a29b2)x212b2x4b2a2b20因为，所以所以a23b2由，得a275，b225经检验，此时0所以椭圆方程为1
