1、备考训练16圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题大题备考1椭圆E：1(ab0)的左、右焦点分别为F1(1,0)，F2(1,0)，左、右顶点分别为A1，A2，P为椭圆E上的动点(不与A1，A2重合)，且直线PA1与PA2的斜率的乘积为.(1)求椭圆E的方程；(2)过F2作两条互相垂直的直线l1与l2(均不与x轴重合)分别与椭圆E交于A，B，C，D四点，线段AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标22020山东师大附中模拟已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，椭圆C上短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)过F1
2、作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点(点A在第二象限)，M，N是椭圆上位于直线l两侧的动点，若MABNAB，求证：直线MN的斜率为定值32020山东临沂质量检测如图，已知点F为抛物线C：y22px(p0)的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45时，|MN|16.(1)求抛物线C的方程；(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由42020山东潍坊学情调研已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，延长BF2交椭圆C于点M，ABF
3、2的周长为8.(1)求C的离心率及方程；(2)试问：是否存在定点P(x0,0)，使得为定值？若存在，求x0；若不存在，请说明理由5.2020山东高考第一次模拟设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点，且离心率为.F为E的右焦点，P为E上一点，PFx轴，F的半径为PF.(1)求E和F的方程；(2)若直线l：yk(x)(k0)与F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，请说明理由62020山东济宁质量检测已知椭圆E：1(ab0)的一个焦点为(0，)，长轴与短轴的比为21.直线l：ykxm与椭圆E交于P、Q两点，其中k为直线l
4、的斜率(1)求椭圆E的方程；(2)若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，问：是否存在一个以坐标原点O为圆心的定圆O，不论直线l的斜率k取何值，定圆O恒与直线l相切？如果存在，求出圆O的方程及实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由备考训练16圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题大题备考1.解析：(1)设点P(x0，y0)，由1得a2x，由题知，即xa2y，结合c1得a24，b23，所求椭圆方程为1.(2)证明：设直线AB的方程为yk(x1)，与椭圆方程3x24y212联立，得(4k23)x28k2x4k2120.可得xM，yMk(xM1)，同理可得xN，yN(xN1).由题，若直线AB关于x轴对称
5、后得到直线AB，则得到的直线MN与MN关于x轴对称，所以若直线MN经过定点，该定点一定是直线MN与MN的交点，该点必在x轴上设该点为P(s,0)，(sxM，yM)，(xMxN，yMyN)，由得s，代入M，N坐标化简得s.所以直线MN过定点.2解析：(1)由题意可得a2c，bc，又a2b2c2，则a24，b23，c21，故椭圆C的方程为1.(2)证明：由(1)可得直线l：x1，A，设直线MN的方程为ykxm，代入椭圆方程，消去y可得(34k2)x28kmx4m2120，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则48(4k2m23)0，由韦达定理得x1x2，x1x2，MABNAB，kAMkAN0，0
6、，即(x21)(x11)0.2kx1x2(x1x2)2m32m30，化简可得(2k1)(2m2k3)0，k或2m2k30.当2m2k30时，直线MN的方程为yk(x1)，直线MN经过点A，不满足题意，则k.故直线MN的斜率为定值.3解析：(1)当直线l的倾斜角为45，则l的斜率为1，F，l的方程为yx.由得x23px0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x23p，|MN|x1x2p4p16，p4，抛物线C的方程为y28x.(2)假设满足条件的点P存在，设P(a,0)，由(1)知F(2,0)，当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，由得k2x2(4k28)x4k20
7、，(4k28)24k24k264k2640，x1x2，x1x24.直线PM，PN关于x轴对称，kPMkPN0，kPM，kPN.k(x12)(x2a)k(x22)(x1a)k2x1x2(a2)(x1x2)4a0，a2时，此时P(2,0)当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可综上，存在唯一的点P(2,0)，使直线PM，PN关于x轴对称4解析：(1)由题意可知，|F1F2|2c2，则c1，又ABF2的周长为8，所以4a8，即a2，则e，b2a2c23.故C的方程为1.(2)假设存在点P，使得为定值若直线BM的斜率不存在，直线BM的方程为x1，
8、B，M，则(x01)2.若直线BM的斜率存在，设BM的方程为yk(x1)，设点B(x1，y1)，M(x2，y2)，联立得(4k23)x28k2x4k2120，根据韦达定理可得：x1x2，x1x2，由于(x2x0，y2)，(x1x0，y1)，则x1x2(x1x2)x0xy1y2(k21)x1x2(x0k2)(x1x2)k2x，因为为定值，所以，解得x0，计算得，此定值为，斜率不存在时也满足，故存在点P，且x0.5解析：(1)由题意得解得所以椭圆的标准方程为y21.当x时，|PF|，所以圆方程为(x)2y2.(2)假设存在k使|AC|BD|，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，|AC|CF|，|
9、BD|DF|，|AC|BD|，|CF|DF|1，即|CD|1，由题意得消去y整理得：(4k21)x28k2x4(3k21)0，16(k21)0，x1x2，x1x2，|x1x2|，|CD|x1x2|1，即4k244k21，显然上式不成立，故不存在k使|AC|BD|.6解析：(1)由已知得：解得：椭圆E的方程为x21.(2)假设存在定圆O，不论直线l的斜率k取何值时，定圆O恒与直线l相切这时只需证明坐标原点O到直线l的距离为定值即可设直线OP的方程为：ytx，P点的坐标为(x0，y0)，则y0tx0，联立方程组解得：x，|OP|2xy(1t2)x以线段PQ为直径的圆过坐标原点O，OPOQ，直线OQ的方程为：yx，在式中以换t，得|OQ|2又由OPOQ知：|PQ|2|OP|2|OQ|2，设坐标原点O到直线l的距离为d，则有|PQ|d|OP|OQ|，d2，d.又当直线OP与y轴重合时，P(0，2)，Q(1,0)此时d.由坐标原点O到直线l的距离d为定值，所以存在定圆O，不论直线l的斜率k取何值时，定圆O恒与直线l相切，定圆O的方程为：x2y2.直线l与y轴交点为(0，m)，且点(0，m)不可能在圆O内，又当k0时，直线l与定圆O切于点，所以m的取值范围是.
