1、第1课时 利用空间向量证明平行与垂直 A级基础巩固1若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，1，1)，则()Al BlCl或l Dl与斜交解析：因为a(1，0，2)，n(2，1，1)，所以an0，即an，所以l或l.答案：C2平面的法向量为(1，2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k等于()A2 B4 C4 D2解析：因为，所以两平面的法向量平行，所以，所以k4.答案：C3在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直 B平行C异面 D相交但不垂直解析：由题意得，(3，3，3)
2、，(1，1，1)，所以3，所以与共线(2，0，2)与不平行，故四点不共线，所以ABCD.答案：B4设u(2，2，t)，v(6，4，4)分别是平面，的法向量若，则t等于()A3 B4 C5 D6解析：因为，所以uv262(4)4t0，所以t5.答案：C5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A斜交B平行C垂直DMN在平面BB1C1C内解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1MAN，则M，N，.又C1D1平面BB1C1C，所以(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量因为0，所以，又MN
3、平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.答案：B6(2020西安调研)已知(1，5，2)，(3，1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数xy_解析：由条件得解得x，y，z4，所以xy.答案：7(2020济南质检)已知平面内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_解析：设平面的法向量为m(x，y，z)，由m0，得x0yz0即yz，由m0，得xz0即xz，取x1，所以m(1，1，1)，mn，所以mn，所以.答案：平行8在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面给出四个命题：()23()2；(
4、)0；与的夹角为60；此正方体体积为|.则错误命题的序号是_解析：异面直线AD1与A1B的夹角为60，但与的夹角为120，注意方向因为0，正确的应是|.答案：9(2020韶关质检)正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.证明：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，于是，(1，0，1)，(1，1，0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则n0，且n0，得取x1，得y1，z1.所以n(1，1，1)又n
5、(1，1，1)0，所以n.又MN平面A1BD，所以MN平面A1BD.10.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证：(1)AECD；(2)PD平面ABE.证明：(1)易知AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系设PAABBC1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，1)因为ABC60，所以ABC为正三角形，所以C，E.设D(0，y0，0)，由ACCD，得0.则0，解得y0.所以D，所以.又，所以00，所以，即AECD.(2)由(1)知(1，0，0)，.设平面ABE的法向量为n(x，y，z)，则
6、得令y2，则z，所以平面ABE的一个法向量为n(0，2，)因为，显然n，所以n，所以平面ABE，即PD平面ABE.B级能力提升11如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1，1，1) B.C. D.解析：设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，所以AMEO，又O是正方形ABCD对角线交点，则O为AC中点，所以M为线段EF的中点在空间坐标系C-xyz中，E(0，0，1)，F(，1)由中点坐标公式，知点M的坐标.答案：C12(2020成都十中月考)给出下列命
7、题：直线l的方向向量为a(1，1，2)，直线m的方向向量b，则l与m垂直；直线l的方向向量a(0，1，1)，平面的法向量n(1，1，1)，则l；平面、的法向量分别为n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，则；平面经过三点A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，则ut1.其中真命题的是_(把你认为正确命题的序号都填上)解析：对于，因为a(1，1，2)，b，所以ab121120，所以ab，所以直线l与m垂直，正确；对于，a(0，1，1)，n(1，1，1)，所以an011(1)(1)(1)0，所以an，所以l或l，错误；对于，因为n1(0，1，3)，
8、n2(1，0，2)，所以n1与n2不共线，所以不成立，错误；对于，因为点A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，所以(1，1，1)，(1，1，0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，所以，即则ut1，正确综上，以上真命题的序号是.答案：13(2020首都师范大学附中模拟)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，ACBCCC12，点D，E，F分别为棱A1C1，B1C1，BB1的中点(1)求证：AC1平面DEF；(2)求证：平面ACB1平面DEF；(3)在线段AA1上是否存在一点P，使得直线DP与平面ACB1所成的角为30？如果存在，求出线段AP的长；如果不存在，说明
9、理由(1)证明：以点C为原点，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由题意可得A(2，0，0)，C1(0，0，2)，D(1，0，2)，E(0，1，2)，F(0，2，1)，所以(1，1，0)，(0，1，1)，设平面DEF的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以即令x1，则n(1，1，1)，又因为(2，0，2)，所以n0，所以n，又因为AC1平面DEF，所以AC1平面DEF.(2)证明：设平面ACB1的法向量为m(a，b，c)，(2，0，0)，(0，2，2)，则m，m，所以即令b1，则m(0，1，1)，因为nm0，所以nm，所以平面ACB1平面DEF.(3)解：设直线DP与平面ACB1所成角为，则3
10、0，设，01，则(0，0，2)，(1，0，22)，所以|sin |sin 30，解得或(舍)所以存在符合题意的点P，即AA1的中点，此时AP1.C级素养升华14(2020福州市联考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点下列结论中，正确结论的序号是_过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；B1D1平面EFG；BD1平面ACB1；异面直线EF与BD1所成角的正切值为；四面体ACB1D1的体积等于a3.解析：正确因E，F，G为棱AB，AA1，C1D1的中点，设A1D1的中点为M，BB1的中点为N，B1C1的中点为P，连接点M，F，E，N，P，G可得截面为正六边形，所以正确错误通过以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，求出，面EFG法向量是n1，n10.正确同上建系，求出，平面ACB1的法向量为n2，n2，所以BD1平面ACB1.正确同上建系，求出，设夹角为，则cos ，由sin2cos21，tan ，得tan .错误同上建系，求出平面AB1C法向量是n3，得D1到平面AB1C距离为d，求出SAB1C，由VSh验证其体积不等于a3，故不正确答案：
