1、十二离散型随机变量的方差(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)已知随机变量X的分布列为X-101Pa则下列式子正确的是()A.P(X=0)= B.a=C.E(X)=- D.D(X)=【解析】选ABC.由分布列可知,P(X=0)=,a=1-=,E(X)=(-1)+0+1=-;D(X)=+=.2.设随机变量X的分布列为X-101P若Y=2X+2,则D(Y)等于()A.-B.C.D.【解析】选D.由题意知,E(X)=-1+0+1=-,故D(X)=+=,D(Y)=D(2X+2)=4D(X)=4=.3.抛掷一枚硬币,
2、规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的均值与方差分别为()A.E(X)=0,D(X)=1B.E(X)=,D(X)=C.E(X)=0,D(X)= D.E(X)=,D(X)=1【解析】选A.抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的分布列为X1-1P0.50.5所以E(X)=10.5+(-1)0.5=0,D(X)=(1-0)20.5+(-1-0)20.5=1.4.(多选题)编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是,则()A.的所有取值是1,2,3 B.P(=1)= C.E()=1 D.D()=1【
3、解析】选BCD.的所有可能取值为0,1,3,=0表示三位同学全坐错了,有2种情况,即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生,则P(=0)=;=1表示三位同学只有1位同学坐对了,则P(=1)=;=3表示三位同学全坐对了,即对号入座,则P(=3)=.所以的分布列为013PE()=0+1+3=1.D()=(0-1)2+(1-1)2+(3-1)2=1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25,则该事件在一次试验中发生的概率为_.【解析】事件在一次试验中发生次数记为X,则X服从两点分布,则D(X)=p(1-p),所以p(1-p)=0
4、.25,解得p=0.5.答案:0.56.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,若从中随机抽出3张,设这3张卡片上的数字和为X,则D(X)=_.【解析】由题意得,随机变量X的可能取值为6,9,12.P(X=6)=,P(X=9)=,P(X=12)=,则E(X)=6+9+12=7.8,D(X)=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.答案:3.36三、解答题(每小题10分,共20分)7.根据以往经验,一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天盈利230元,小雨天盈利163元,中雨天盈利90元.根据天气预报,明天无雨的概率是0.2,有小雨的概率是0.3,有中雨的概率是0
5、.5.问:明天发一辆长途汽车盈利的期望是多少元?方差和标准差各是多少?【解析】用X表示明天发一辆车的盈利,由题意知P(X=230)=0.2,P(X=163)=0.3,P(X=90)=0.5,所以E(X)=2300.2+1630.3+900.5=139.9(元).所以明天发一辆长途汽车盈利的期望是139.9元.方差D(X)=(230-139.9)20.2+(163-139.9)20.3+(90-139.9)20.5=3 028.69,标准差=55.所以方差和标准差各是3 028.69,55.8.设在12个同类型的零件中有2个次品,抽取3次进行检验,每次抽取一个,并且取出不再放回,若以X和Y分别表
6、示取出次品和正品的个数.(1)求X的分布列、均值及方差;(2)求Y的分布列、均值及方差.【解析】(1)X的可能值为0,1,2.若X=0,表示没有取出次品,其概率为P(X=0)=,同理,有P(X=1)=,P(X=2)=.所以X的分布列为X012P所以E(X)=0+1+2=.D(X)=+=.(2)Y的可能值为1,2,3,显然X+Y=3.P(Y=1)=P(X=2)=,P(Y=2)=P(X=1)=,P(Y=3)=P(X=0)=.所以Y的分布列为Y123P所以Y=-X+3,所以E(Y)=E(3-X)=3-E(X)=3-=,D(Y)=(-1)2D(X)=.(20分钟40分)1.(5分)某同学上学路上要经过
7、3个路口,在每个路口遇到红灯的概率都是,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的,记X为遇到红灯的次数,若Y=3X+5,则Y的标准差为()A. B.3 C. D.2【解析】选A.因为该同学经过每个路口时,是否遇到红灯互不影响,所以可看成3次独立重复试验,即XB,则X的方差D(X)=3=,所以Y的方差D(Y)=32D(X)=9=6,所以Y的标准差为=.2.(5分)若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1x2,又已知E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为()A. B. C.3 D.【解析】选C.x1,x2满足解得或因为x1E(),D()D(),说明甲射击的环数的均值比乙高,且
8、成绩比较稳定,所以甲比乙的射击技术好.1.(2020嘉兴高二检测)已知a(0,2),随机变量的分布列如下:0a2P则D()的最大值为()A.2B.1C.D.【解析】选C.由随机变量的分布列得:,解得0a2,所以E()=a+=a,0a2.D()=(0-a)2+(a-a)2+(2-a)2=-a2+a=-(a-1)2+,当a=1时,D()取得最大值.2.A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析,X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3 (1)在A,B两个项目上各投资100万元,Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所
9、获得的利润,求方差D(Y1),D(Y2);(2)将x(0x100)万元投资A项目,(100-x)万元投资B项目,f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和.求f(x)的最小值,并指出x为何值时,f(x)取到最小值.【解析】(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)=50.8+100.2=6,D(Y1)=(5-6)20.8+(10-6)20.2=4;E(Y2)=20.2+80.5+120.3=8,D(Y2)=(2-8)20.2+(8-8)20.5+(12-8)20.3=12.(2)f(x)=D+D=D(Y1)+D(Y2)=x2+3(100-x)2=(4x2-600x+31002).所以当x=75时,f(x)取最小值3.
