1、北京临川学校20172018学年上学期期末考试 高三数学试卷（理）（满分150分，考试时间120分钟） 2018.1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集,集合，那么 (A) (B) (C) (D) (2) 下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（A） （B） （C） （D）(3) 执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为 (A) (B) (C) (D) (4)抛物线的准线方程是 （A） （B） （C） （D） (5)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（
2、A）3 （B）2 （C）2 （D）3(6)已知是定义在上的奇函数，且在上是增函数，则的解集为(A） （B） （C） （D）(7)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A） （B） （C） （D）(8) 设 ，则(A) (B) (C) (D)(9) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是 (A) (B) (C) (D) xyO(10) 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式的值为(A) (B) (C) (D) (11)已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（A） （B） （C） （D
3、）(12)若，则函数在上是减函数是函数 在上是增函数的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）(13)在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是_ .(14)若满足则的最大值为 .(15) 已知角终边经过点，则_ .(16) 在矩形中，那么_ ；若为线段上的动点，则的取值范围是_ . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(17)(本小题满分12分)已知ABC是等边三角形，在的延长线上，且，.()求的长；()求的值.(18)(本小题满分12分)
4、A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：（I） 试估计B班的学生人数；（II） 从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量.规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记，当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记，当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记. 求随机变量的分布列及期望.（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成
5、的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小（结论不要求证明）. （19）（本小题12分）已知是等比数列，满足，数列是首项为4，公差为1的等差数列（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和(20)(本小题满分12分)如图1，四边形为正方形，延长至，使得，将四边形沿折起到的位置，使平面平面，如图2.（I）求证：平面；（II）求异面直线与所成角的大小；（III）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. (21)(本小题满分12分) 设函数，.（）若，求函数的单调区间；（）若曲线在点处的切线与直线平行.(i) 求的值；(ii)求实数的取值范围，使得对恒成立(22) (本小题满分10分)椭圆的
6、焦点为,，且点在椭圆上.过点的动直线与椭圆相交于两点,点关于轴的对称点为点（不同于点）.(I) 求椭圆的标准方程；(II)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标.20172018学年第一学期高三年级期末数 学 试 卷（理 科）（满分150分，考试时间120分钟）2018.1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集,集合，那么 (A) (B) (C) (D) (2) 下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（A） （B） （C） （D）(3) 执行如图所示的程序框图，若输入的值为1，则输出的值为 (A)
7、 (B) (C) (D) （4）抛物线的准线方程是 （A） （B） （C） （D） (5)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=（A）3 （B）2 （C）2 （D）3（6）已知是定义在上的奇函数，且在上是增函数，则的解集为 (A） （B） （C） （D）（7）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A） （B） （C） （D）(8) 设 ，则(A) (B) (C) (D)(9) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是 (A) (B) (C) (D) xyO(10)
8、 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式的值为(A) (B) (C) (D) (11)已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（A） （B） （C） （D）(12)若，且，则“函数在上是减函数”是“函数 在上是增函数 ”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）(13)在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是_ .(14)若满足则的最大值为 .(15) 已知角终边经过点，则_ .(16) 在矩形中，那么_ ；若为线段上的动点，则的取值范围是_ . 三、解答题（本大题共6小题，共70
9、分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(17)(本小题满分12分)已知ABC是等边三角形，在的延长线上，且，.()求的长；()求的值.(18)(本小题满分12分)A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：（I） 试估计B班的学生人数；（II） 从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量.规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记，当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记，当甲的测试数据比乙的测试
10、数据高时，记.求随机变量的分布列及期望.（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小（结论不要求证明）. （19）（本小题12分）已知是等比数列，满足，数列是首项为4，公差为1的等差数列（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和(20)(本小题满分12分)如图1，四边形为正方形，延长至，使得，将四边形沿折起到的位置，使平面平面，如图2.（I）求证：平面；（II）求异面直线与所成角的大小；（III）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. (21)(本小题满分1
11、2分) 设函数，.（）若，求函数的单调区间；（）若曲线在点处的切线与直线平行.(i) 求的值；(ii)求实数的取值范围，使得对恒成立.(22) (本小题满分10分)椭圆的焦点为,，且点在椭圆上.过点的动直线与椭圆相交于两点,点关于轴的对称点为点（不同于点）.(I) 求椭圆的标准方程；(II)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标.20162017学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）参考答案及评分标准2018.1一、 选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题 号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9101112答 案ADBDC
12、CCCCBBA二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （13） （14）6 （15） （16）； 三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(17)(本小题满分12分) 解：()设.因为是等边三角形，所以.因为,所以.即.所以（舍）.所以. 6分()因为,所以.所以. 在中，因为,所以.12分 (18)(本小题满分12分)解：（）由题意可知，抽出的名学生中，来自班的学生有名.根据分层抽样方法，班的学生人数估计为（人）. 3分（）；， 则的概率分布为： . 10分（）. 12分（19）（共12分）解：（）设等比数列的公比为由题意，得，所以 3分又数列是首
13、项为，公差为的等差数列，所以从而 6分（）由（）知数列的前项和为 9分数列的前项和为 11分所以，数列的前项和为 12分(20)(本小题满分12分)解：()证明：因为平面平面，且平面平面，因为四边形为正方形，在的延长线上，所以.因为平面，所以平面4分()法一：连接.因为是正方形，所以.因为平面，所以.因为，所以平面，所以.所以异面直线与所成的角是. 9分法二：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示. 设则.则.所以.因为，所以. 所以异面直线与所成的角是. 9分() 因为平面，所以平面的法向量.设平面的法向量.因为，所以，即.设，则.所以.因为所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 12分
14、(21)(本小题满分12分)解：（）当时，则.当时，；当时，；所以的单调增区间为，单调减区间为. 4分（）(i)因为，所以.依题设有 即解得. 8分(i i)所以. 对恒成立，即对恒成立.令则有 当时，当时，所以在上单调递增.所以，即当时，；当时，当时，所以在上单调递减，故当时，即当时，不恒成立.综上， 12分(22)(本小题满分10分)解：(I)法一设椭圆的标准方程为.由已知得解得.所以椭圆的方程为. 6分法二，设椭圆的标准方程为.由已知得，.所以， .所以椭圆的方程为. 6分(II)法一 当直线的斜率存在时（由题意），设直线的方程为. 由得.设，.则特殊地，当为时，所以，即.所以点关于轴的对称点，则直线的方程为.又因为当直线斜率不存时，直线的方程为，如果存在定点满足条件，则.所以，又因为 ，所以，即三点共线.即直线恒过定点，定点坐标为. 12分法二 (II)当直线的斜率存在时（由题意），设直线的方程为 .由，可得.设，则.所以因为，所以直线的方程为：.所以.因为当，所以直线恒过点.当不存在时，直线的方程为，过定点.综上所述，直线恒过定点，定点坐标为. 12分
