1、第二章 函 数3 函数的单调性和最值【素养目标】1根据一次函数，二次函数了解并理解函数单调性的概念(数学抽象)2会利用函数图象判断一次函数，二次函数的单调性(直观想象)3理解一次函数、二次函数等常见函数的最大(小)值问题(数据分析)4能利用定义判断一些简单函数在给定区间上的单调性，掌握利用单调性定义判断、证明函数单调性的方法(逻辑推理)5掌握利用函数的图象和函数的单调性求一些简单函数的最大(小)值的方法(数据分析)【学法解读】1函数单调性的学习，学生要正确使用符号语言清晰地刻画函数的性质2单调性的有关概念比较抽象，要注意结合具体的函数(如一次函数、二次函数、反比例函数等)加深理解其含义及应用3
2、应少做偏题、怪题，避免烦琐的技巧训练第1课时 函数的单调性必备知识探新知关键能力攻重难课堂检测固双基必备知识探新知基础知识 函数的单调性知识点1函数增函数减函数条件设函数yf(x)的定义域为D，对于任意x1，x2D，当x1x2时，_结论yf(x)是增函数yf(x)是减函数当I是定义域D上的一个区间时，函数yf(x)在区间I上单调递增当I是定义域D上的一个区间时，函数yf(x)在区间I上单调递减f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)思考1：在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？提示：不能，不能用特殊代替一般 函数的单调性与单调区间函数yf(x)在_上是单调递增或单调递减，则函数在区间D上具有
3、(严格的)单调性，区间D叫作函数的单调区间思考2：区间D一定是函数的定义域吗？提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念区间D知识点2 函数的最大(小)值设函数yf(x)的定义域为D，若存在实数M，对所有的xD，都有_，且存在x0D，使得_，则称M为函数yf(x)的最大(小)值思考3：函数f(x)x2的定义域为R，存在实数1，对所有的xR，都有f(x)1那么1是函数f(x)x2的最大值吗？为什么？提示：不是因为不存在x0R，使得f(x0)x1f(x)M(f(x)M)知识点3f(x0)M基础自测1函数yf(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2(a，b)，且x1x
4、2，则有()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)D以上都有可能解析因为函数yf(x)在(a，b)上是减函数，且x1x2，所以f(x1)f(x2)，故选BB解析分别画出各个函数的图象，在区间(0，2)上上升的图象只有BBCA关键能力攻重难题型探究题型一由图象求函数的单调区间如图为函数yf(x)，x4，7的图象，指出它的单调区间例 1分析(1)函数f(x)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？(2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？解析函数的单调增区间为1.5，3)，5，6)，单调减区间为4，1.5)，3，5)，6，7(3)区间端点的
5、写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点【对点练习】根据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间解析由图象(1)知此函数的增区间为(，2，4，)，减区间为2，4由图象(2)知，此函数的增区间为(，1，1，)，减区间为1，0)，(0，1题型二由图象求函数的最值(1)函数f(x)在区间2，5上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A2，f(2)B2，f(2)C2，f(5)D2，f(5)例 2C解析(1)由函数的图象可知，最小值为2，最大值为
6、f(5)(2)由题意，当x1，2时，f(x)x23，为二次函数的一部分；当x(2，5时，f(x)x3，为一次函数的一部分；所以，函数f(x)的图象如图所示：由图象可知，当x0时有最大值为3；当x2时有最小值为1题型三二次函数的最值已知函数f(x)3x212x5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值(1)R；(2)0，3；(3)1，1例 3解析f(x)3x212x53(x2)27，作出函数yf(x)的图象，如图所示(1)当xR时，f(x)3(x2)277，当x2时，等号成立故当xR时，函数f(x)的最小值为7，无最大值(2)由图可知，在0，3上，函数f(x)在x0处取得最大值，最
7、大值为5；故x2处取得最小值，最小值为7(3)由图可知，函数f(x)在1，1上是减函数，在x1处取得最大值，最大值为20；在x1处取得最小值，最小值为4归纳提升定轴定区间的二次函数的最值问题的解法解决这类问题，要画出函数的图象，根据给定的区间截取符合要求的部分，根据图象写出最大值和最小值经常用到的结论：当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反【对点练习】求函数f(x)x22x2在区间t，t1上的最小值g(t)解析f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，对称轴为直线x1当t11，即t0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间t，t1上
8、为减函数，所以最小值为g(t)f(t1)t21；当t1t1，即0t1时，函数图象如图2所示，最小值为g(t)f(1)1；课堂检测固双基1函数yf(x)的图象如图所示，其增区间是()A0，1B4，31，4C3，1D3，4解析结合图象分析可知，函数图象在区间3，1是上升的，故其增区间是3，1CA3下列函数在区间(0，)上不是增函数的是()Ay2x1Byx21Cy3xDyx22x1解析函数y3x在区间(0，)上是减函数C4函数f(x)在2，2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()Af(2)，0B0，2Cf(2)，2Df(2)，2解析由图象可知，当x2时，f(x)取最小值f(2)，当x1时，f(x)取最大值f(1)2，故选CC5函数f(x)2x1(x2，2)的最小、最大值分别为()A3，5B3，5C1，5D5，3解析函数f(x)在2，2上单调递减，f(x)minf(2)3，f(x)maxf(2)5B
