1、第十章10.2A组素养自测一、选择题1抛掷3枚质地均匀的硬币，A“既有正面向上又有反面向上”，B“至多有一个反面向上”，则A与B的关系是(C)A互斥事件B对立事件C相互独立事件D不相互独立事件解析由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B是相互独立的.2某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是(C)A0.64B0.56C0.81D0.99解析设Ai表示“第i题做对”，i1,2，由题意知，A1，A2相互独立，则P(A1A2)P(A1)P(A2)0.90.90.813事件A，B是相互独立的，P(A)0.4，P(B)0.3，下列四个式
2、子：P(AB)0.12；P(B)0.18；P(A)0.28；P()0.42其中正确的有(A)A4个B2个C3个D1个解析事件A，B是相互独立的，由P(A)0.4，P(B)0.3知：在中，P(AB)P(A)P(B)0.40.30.12，故正确；在中，P(B)P()P(B)0.60.30.18，故正确；在中，P(A)P(A)P()0.40.70.28，故正确；在中，P( )P()P()0.60.70.42，故正确.4甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(D)ABCD解析甲要获得冠军共分为两种情
3、况：(1)第一场取胜，这种情况的概率为.(2)第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为，则甲获得冠军的概率为.5(多选)设M，N为两个随机事件，给出以下命题正确的是(ABD)A若P(M)，P(N)，P(MN)，则M，N为相互独立事件B若P()，P(N)，P(MN)，则M，N为相互独立事件C若P(M)，P()，P(MN)，则M，N为相互独立事件D若P(M)，P(N)，P()，则M，N为相互独立事件解析在A中，若P(M)，P(N)，P(MN)，则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故A正确；在B中，若P()，P(N)，P(MN)，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相
4、互独立事件，故B正确；在C中，若P(M)，P()，P(MN)，当M，N为相互独立事件时，P(MN)，故C错误；D若P(M)，P(N)，P()，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故D正确.二、填空题6有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为_，问题得到解决的概率为_.解析甲、乙两人都未能解决的概率为，问题得到解决就是至少有1人能解决问题，P1.7已知A，B是相互独立事件，且P(A)，P(B)，则P(A)_；P()_.解析P(A)，P(B)，P()，P().P(A)P(A)P()，P(
5、)P()P().8甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是_0.24_，三人中至少有一人达标的概率是_0.96_.解析由题意可知三人都达标的概率为P0.80.60.50.24；三人中至少有一人达标的概率为P1(10.8)(10.6)(10.5)0.96三、解答题9在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.解析(1)
6、设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P(A).(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜.设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为BC，则P(BC)P(B)P(C).10在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否是相互独立的.(1)求乙答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.解析(1)记事件A“甲答对这道题”，事件B“乙答对这道题”，事件C“丙答对这道题”.设乙答对这道题的
7、概率P(B)x.由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件.由题意，根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P()P()P()(1x)，解得x，所以乙答对这道题的概率P(B).(2)设事件M“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”，丙答对这道题的概率P(C)y.根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P(BC)P(B)P(C)y，解得y.甲、乙、丙三人都回答错误的概率P()P()P()P().因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以所求事件概率P(M)1.B组素养提升一、选择题1如图所示，A，B，C表示3个开关，
8、若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(B)A0.504B0.994C0.496D0.064解析由题意可知，系统的可靠性为1(10.9)(10.8)(10.7)10.0060.9942某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假设这两道工序生产出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为(A)Aabab1B1abC1abD12ab解析由题意，两道工序生产出正品的概率分别是1a,1b，又这两道工序生产出废品是彼此无关的，故产品的合格率为(1a)(1b)abab1故选A3某企业有甲、乙两个研
9、发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为(D)ABCD解析记E“甲组研发新产品成功”，F“乙组研发新产品成功”，由题设知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立.记H“至少有一种新产品研发成功”，则，于是P()P()P()，故所求的概率P(H)1P()1.故选D4甲、乙两名同学参加学校“吉祥物设计”大赛，甲能获得一等奖的概率是，乙能获得一等奖的概率是，甲、乙两人是否获得一等奖互不影响，则甲、乙两人中至少有一人获得一等奖的概率为(C)ABCD解析由于甲能获得
10、一等奖的概率是，乙能获得一等奖的概率是，甲、乙两人是否获得一等奖互不影响，甲、乙两人中至少有一人获得一等奖的概率为P1.二、填空题5某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_0.128_.解析记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，由题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)10.20.80.80.1286(2020天津卷
11、)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_.解析甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.三、解答题7台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7,0.9，各卫星间相互独立，求在同一时刻至少有两颗预报准确的
12、概率.解析设“甲、乙、丙预报准确”分别为事件A，B，C，不准确记为，则P(A)0.8，P(B)0.7，P(C)0.9，P()0.2，P()0.3，P()0.1，至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥.所以至少两颗预报准确的概率为PP(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)0.80.70.10.80.30.90.20.70.90.80.70.90.0560.2160.1260.5040.9028某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大.解析设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)，P(B)，P(C).设恰有k人合格的概率为pk(k0,1,2,3).(1)三人都合格的概率：p3P(ABC)P(A)P(B)P(C).(2)三人都不合格的概率：p0P()P()P()P().(3)恰有两人合格的概率：p2P(AB)P(AC)P(BC).恰有一人合格的概率：p11p0p2p31.综合(1)(2)可知p1最大.所以出现恰有一人合格的概率最大.
