1、2021-2022学年度第一学期高二教学质量检测数学试题一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知直线，的倾斜角为60.若，则的斜率为（ ）A. B. C. D. 3. “某彩票的中奖概率为”意味着（ ）A. 买100张彩票就一定能中奖B. 买100张彩票能中一次奖C. 买100张彩票一次奖也不中D. 购买彩票中奖的可能性为4. 已知直线，.若，则实数（ ）A. B. 2C. 或2D. 05. 如图，在四面体OABC中，M在棱OA上，满足，N，P分别是BC，MN中点，设，用，表
2、示，则（ ）A. B. C D. 6. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，则异面直线与所成角余弦值为（ ）A. B. C. D. 8. 已知：，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则FD斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知曲线（ ）A. 表示两条直线B. 表示圆C. 表示焦点在x轴上的双曲线D. 表示焦点在x轴上的
3、椭圆10. 在空间直角坐标系Oxyz中，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 平面与所有坐标轴相交D. 原点一定不在平面内11. 已知圆，点是圆上的一个动点，点，则（ ）A. B. 的最大值为C. 面积的最大值为2D. 的最大值为412. 抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有（ ）A. B. B，D为对立事件C. A，C为互斥事件D. A，D相互独立三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在空间直角坐标系
4、Oxyz中，点关于y轴的对称点坐标为_.14. 若点P是抛物线上的动点，则点P到点的距离与到直线的距离之和的最小值是_.15. 已知甲乙两人定点投篮比赛，投中的概率分别为和，若按甲乙甲乙的次序轮流投篮，且每次投篮是否投中互不影响，直到有一人投中停止比赛，则甲投篮两次的概率是_.16. 已知双曲线左焦点为，过点的直线与双曲线E的两条渐近线的交点MN位于y轴左侧，满足，为坐标原点，则双曲线E的渐近线方程为_.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 已知O为坐标原点，是直线l与抛物线的两个交点，满足.试求的值，并证明直线l恒过定点.18. 已知四棱锥中，底面A
5、BCD是矩形，平面ABCD，点M在PD上，且.（1）求的值；（2）求点B到直线CM的距离.19. 1765年瑞士数学家莱昂哈德欧拉（LeonhardEuler）在他的著作三角形的几何学中首次提出著名的欧拉线定理：三角形的重心垂心和外心位于同一直线上（这条直线称之为三角形的欧拉线），而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.已知中，的欧拉线方程为.（1）求外接圆的标准方程；（2）求点C到直线AB的距离.注：重心是三角形三条中线的交点，若的顶点为，则的重心是.20. 某游乐场停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按
6、1小时计算）.现有甲乙两人在该停车场临时停车，两人停车时间互不影响且都不超过2.5小时.（1）若甲停车的时长在不超过半小时半小时以上且不超过1.5小时1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲乙两人停车付费之和为4元的概率；（2）若甲乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为，求甲乙两人临时停车付费不相同的概率.21. 已知平面图形ABCDE（图1）中，.沿BD将折起，使得点C到F的位置（如图2），满足.（1）证明：平面平面BDF；（2）求平面AEF与平面BCF夹角的余弦值.22.
7、如图，已知椭圆的顶点，分别为矩形的边的中点，点分别满足，直线与直线的交点为.（1）证明：点P在椭圆E上；（2）设直线l与椭圆E相交于M，N两点，内切圆的圆心为.若直线垂直于x轴，证明直线l的斜率为定值，并求出该定值.1【答案】B2【答案】A3【答案】D4【答案】A5【答案】C6【答案】B7【答案】A8【答案】B9【答案】BD10【答案】C11【答案】AC12【答案】BC13【答案】14【答案】15【答案】16【答案】17【详解】解：因为，所以，又因为，所以，解得，下证直线恒过定点.由题可知，直线不与轴垂直，设直线的方程为，由得，所以，由得，所以直线的方程为，所以直线恒过定点18【答案】（1）
8、（2）【小问1详解】以为原点建立空间直角坐标系如图所示：则，0，0，2，2，0，2，0，设，则，即，【小问2详解】在棱上取点，使得，设， 则，又，故，因为，则，解得，点B到直线CM的距离.19【答案】（1） （2）【小问1详解】解：由题知，边的中点为，直线的斜率为，所以边的中垂线的方程为，即，又因为的外心在其欧拉线上，所以联立，解得，即的外心为，所以外接圆的半径为，所以外接圆的标准方程为【小问2详解】解：设点，则由（1）知，因为的重心在欧拉线上，所以，即所以，解得，即又，所以直线的方程为，所以点C到直线的距离为20【答案】（1） （2）【小问1详解】解：设甲停车付费元，乙停车付费元，由题知，所
9、以两人停车费用的可能情况为共9种，其中，甲乙两人停车付费之和为4元的事件有所以甲乙两人停车付费之和为4元的概率为.【小问2详解】解：设甲、乙两人停车时长不超过半小时分别为事件，停车时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，则，所以，甲乙两人临时停车付费相同的概率为，所以，甲乙两人临时停车付费不相同的概率为21【小问1详解】，又，且AE与BD相交，平面ABDE，又平面ABDE，由图1知，即，又，平面BDF，又平面ADF，平面平面BDF；【小问2详解】以为坐标原点， 所在直线为， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，易知平面BCF的一个法向量为，1，设平面AEF与平面BCF所成的夹角为，则，故平面AEF与平面BCF所成的夹角的余弦值为22【小问1详解】解：由题知：，则直线的方程为：，直线的方程为：，解方程组，得，因为，所以点在椭圆上.【小问2详解】解：由题知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，联立得，设，则，因为直线与轴垂直，所以直线的斜率互为相反数，所以，因为,所以，整理得，所以。化简得，即，若，则，此时直线的方程为，直线过点，此时不能构成，故不成立，所以，即直线的斜率为定值，.综上，直线的斜率为定值，.
