1、专题11 双变量方程类存在性或任意性问题【方法点拨】解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有：x1D， x2E，使得f(x1)=g(x2)成立，则； x1D，x2E，使得f(x1)=g(x2)成立，则.【典型题示例】例1 已知函数，实数，满足，若，使得成立，则的最大值为（ ）A 4 B. C. D. 【答案】A【解析】，则当 时，；当 时， .，作函数 的图象如图所示，当时，方程两根分别为 和，则 的最大值
2、为.故选A. 例2 已知函数 ，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】当时，单调递减，；当时，成立，单调递增，所以的值域为设的值域为，因为存在，使得成立，所以，任意，成立，在单调递增，所以，因为，所以，；，任意，成立，在单调递减，所以，则，不合题意；，令，在递减，递增，所以，又，则，不合题意综上所述，点评：存在性和恒成立混合问题注意理解题意，等量关系转化为值域的关系.例3 已知f(x)是定义在2，2上的奇函数，且当x(0，2时，f(x)2x1，函数g(x)x22xm，且如果对于任意的x12，2，都存在x22，2，使得g(x2)f(x1)，则实数m的取值范围是_【答案】 5，2【
3、分析】易得，若对于，使得，只需的值域包含于的值域即可，即m13且m83，解得【解析】x(0，2时，f(x)2x1为增函数，值域为(0，3，因为f(x)是定义在2，2上的奇函数，所以f(x)在2，2上的值域为3，3，函数g(x)x22xm在x2，2上的值域为m1，m8因为对任意的x12，2，都存在x22，2，使得g(x2)f(x1)，所以f(x)在2，2上的值域是g(x)x22xm在x2，2上的值域的子集，所以，解得，即实数m的取值范围是5，2 点评：考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解题意，转化为值域之间的关系.例4 已知函数f(x)g(x)x22x2若存在
4、aR，使得f(a)g(b)0，则实数b的取值范围是_【答案】(2,0)【解析】当x时，f(x)11，此时f(x)11在上单调递减，易求得f(x)7,1)；当x时，f(x)log，此时f(x)在上单调递减，易求得f(x)(，2)，f(x)的值域为(，2)故存在aR，使得f(a)g(b)0g(b)f(a)(，2)b22b22b(2,0)例5 已知函数，若对任意，总存在，使，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】对任意，则，即函数的值域为，若对任意，总存在，使，设函数的值域为A，则满足，即可，当时，函数为减函数，则此时，当时，当时，（红色曲线），即时，满足条件，当时，此时，要使成立，则此
5、时，此时满足（蓝色曲线），即，得，综上或，故选：C【巩固训练】1.已知函数f(x)3x22xa22a，g(x)x，若对任意x11,1，总存在x20,2，使得f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是 2.已知函数f(x)2x，x，函数g(x)kx2k2(k0)，x，若存在x1及x2，使得f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围3.已知函数f(x)x2x，g(x)ln(x1)a ，若存在x1，x20，2，使得f(x1)g(x2) ，求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)(x2)，g(x)ax(a1，x2)(1)若x02，)，使f(x0)m成立，则实数m的取值范围为_；(2)若x12，)
6、，x22，)，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围为_5.已知函数，若存在实数，使得 成立，则实数的取值范围是 。6.已知函数f(x)=，g(x)= x22x2，若存在aR，使得f(a)+g(b)=0，则实数b的取值范围是_.7.若，总使得成立，则实数的取值范围是 .【答案与提示】1.【答案】2,0【解析】f(x)3x22xa(a2)，则f(x)6x2，由f(x)0得x.当x时，f(x)0，所以f(x)minfa22a.又由题意可知，f(x)的值域是的子集，所以解得实数a的取值范围是2,02.【答案】【解析】由题意，易得函数f(x)的值域为0,1，g(x)的值域为，并且两个值域有公共部
7、分先求没有公共部分的情况，即22k1或2k0，解得k，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是.3.【答案】4,ln3【解析】f(x)值域A=0，4，g(x)值域B=a，ln3a，由存在x1，x20，2，使得f(x1)g(x2) 知：ABf正难则反，先求出ABf时，a的取值范围由ABf得：4a或ln3a0，解之得：a4或aln3，故ABf时，4aln3，所以a的取值范围是4,ln3.4.【答案】(1)3，)(2)(1，【解析】(1)因为f(x)xx11213，当且仅当x2时等号成立所以若x02，)，使f(x0)m成立，则实数m的取值范围为3，)(2)因为当x2时，f(x)3，g(x)a2，若x12，)，x22，)，使得f(x1)g(x2)，则解得a(1，5.【答案】6.【答案】（2,0）7. 【答案】（,1）
