1、专题二三角函数与平面向量1ABC内接于半径为R的圆,a,b,c分别是A,B,C的对边,且2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C,c3.(1)求角A;(2)若AD是BC边上的中线,AD,求ABC的面积2已知m,n,设函数f(x)mn.(1)求函数f(x)的单调增区间;(2)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b.c,且a,b,c成等比数列,求f(B)的取值范围3如图Z21,ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知B60,2bc,D是边BC的中点且AD.(1)求sin A的值;(2)求ABC的面积图Z214(2017年天津)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c
2、.已知ab,a5,c6,sin B.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值5在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C.(1)求角A的大小;(2)若a6,求bc的最大值6已知角A,B,C是ABC的内角,a,b,c分别是其所对边长,向量m,n,mn.(1)求角A的大小;(2)若a且ba,求2bc的取值范围7ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a2,acos B(2cb)cos A.(1)求角A的大小;(2)求ABC周长的最大值8(2019年新课标)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinbsin
3、 A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c1,求ABC面积的取值范围专题二三角函数与平面向量1解:(1)由正弦定理得,2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C,可化为bsin Basin Absin Ccsin C,即b2a2bcc2,cos A.0A,A60.(2)以AB,AC为邻边作平行四边形ABEC,在ABE中,ABE120,AE.在ABE中,由余弦定理得AE2AB2BE22ABBEcos 120.即199AC223AC,解得AC2.故SABCbcsin A.2解:(1)f(x)sin,令2k2k,kZ,则4kx4k,kZ.函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(2)由b2a
4、c,可知cos B(当且仅当ac时取等号),0B.sin.f(B).综上所述,f(B)的取值范围为.3解:(1)2bc,由正弦定理得2sin Bsin C,sin C, cb,故由sin B,可得cos B.由已知及余弦定理,有b2a2c22accos B13,b.由正弦定理,得sin A.b的值为,sin A的值为.(2)由(1)及ac,得cos A,sin 2A2sin Acos A,cos 2A12sin2A.故sinsin 2Acos cos 2Asin .5解:(1)sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C,b2c2a2bc,又a2b2c22bccos A,cos A.又0
5、A,A.(2)由正弦定理,得4 ,b4 sin B,c4 sin C.又BC,bc4 sin B4 sin C4 4 1212sin.又0B,B,612sin12,即6bc12.则bc的最大值为12.6解:(1)已知mn,mnsin A(cos A1)0,即sin Acos A1,即sin,0A,A.A,A.另解:mn,mn2 sin cos 2cos20,00,tan 1,A.(2)由(1)题知A,又a,由正弦定理可得2,得b2sin B,c2sin C,故2bc4sin B2sin C4sin B2sin3sin Bcos B2 sin.ba,B,B,2 sin,2 )即2bc的取值范围为
6、,2 )7解:(1)方法一,由已知,得acos Bbcos A2ccos A.由正弦定理,得sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A,即sin(AB)2sin Ccos A.sin(AB)sin(C)sin C,sin C2sin Ccos A.sin C0,cos A.0A,A.方法二,由已知根据余弦定理,得a(2cb).即b2c2a2bc.cos A.0A,A.(2)方法一,由余弦定理a2b2c22bccos A,得bc4b2c2,即(bc)23bc4,bc2,(bc)2(bc)24.即bc4(当且仅当bc2时等号成立)abc6.故ABC周长的最大值为6.方法二,且a2,A,bsin B,csin C.abc2(sin Bsin C)224sin.0B,当B时,abc取得最大值6.故ABC周长的最大值为6.8解:(1)根据题意,知asin bsin A,又由正弦定理,得sin Asin sin Bsin A,0A0,消去sin A得sin sin B.0B,0,故B或者B.而根据题意ABC,故B不成立,B.又ABC,代入得3B,B.(2)ABC是锐角三角形,由(1)知B,ABC得AC,故解得C.又由正弦定理得,c1,由三角形面积公式有SABCacsin Bc2sin Bc2sin B.又C,SABC.SABC的取值范围是.