1、第五节定积分与微积分基本定理本节主要包括 2 个知识点：1.求定积分；2.定积分的应用.突破点(一)求定积分基础联通抓主干知识的“源”与“流”1定积分的定义一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0 x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式 i1nf(i)xi1n ban f(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作_.abf(x)dx2定积分的相关概念在abf(x)dx 中，a 与 b 分别叫做与，区间a，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做，x 叫做积分变
2、量，_叫做被积式3定积分的性质(1)abkf(x)dx_(k 为常数)；(2)abf1(x)f2(x)dx ；(3)abf(x)dx (其中 acb)积分下限积分上限被积函数f(x)dxkabf(x)dxabf1(x)dxabf2(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx4微积分基本定理如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么abf(x)dx其中F(x)叫做f(x)的一个原函数为了方便，我们常常把记为F(x)|ba，即abf(x)dxF(x)|ba.F(b)F(a)F(b)F(a)F(b)F(a)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用微积分基本定理求定积分例 1 计算下
3、列定积分：(1)01(x22x)dx；(2)0(sin xcos x)dx；解(1)01(x22x)dx01(x2)dx012xdx13x3 10 x2|1013123.(2)0(sin xcos x)dx0sin xdx0cos xdx(cos x)|0sin x|02.解 12e2x1x dx12e2xdx121xdx12e2x|21ln x|2112e412e2ln 2ln 112e412e2ln 2.(3)12e2x1x dx；解 20 1sin 2xdx20|sin xcos x|dx40(cos xsin x)dx24(sin xcos x)dx(sin xcos x)400(co
4、s xsin x)24 21(1 2)2 22.(4)201sin 2xdx.方法技巧利用微积分基本定理求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值(5)计算原始定积分的值利用定积分的几何意义求定积分例 2 利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1)01 1x12dx；解 根据定积分的几何意义，可知011x12dx 表示的是圆(x1)2y21 的面积的14(如图所示的阴影部分)故01 1x12dx4.解 55
5、(3x34sin x)dx 表示直线 x5，x5，y0和曲线 y3x34sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和，且在 x轴上方的面积取正号，在 x 轴下方的面积取负号设 yf(x)3x34sin x，则 f(x)3(x)34sin(x)(3x34sin x)f(x)，又f(0)0，所以 f(x)3x34sin x 在5,5上是奇函数，所以05(3x34sin x)dx05(3x34sin x)dx，所以55(3x34sin x)dx05(3x34sin x)dx05(3x34sin x)dx0.(2)55(3x34sin x)dx.方法技巧1利用定积分几何意义求定积分的策略 当被积函数的原函
6、数不易求，而被积函数的图象与直线xa，xb，y0所围成的曲边梯形的面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分2两个常用结论设函数f(x)在闭区间a，a上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论：(1)若f(x)是偶函数，则aaf(x)dx20af(x)dx；(2)若f(x)是奇函数，则aa f(x)dx0.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1考点一11(x1)dx()A2 B2C13D12解析：11(x1)dxx22 x11 121 121 2.答案：B2考点一20sin2x2dx()A0 B412 C414D41解析：20sin2x2dx20 1cos x2dx12x12
7、sin x20412.答案：B3.考点一 设f(x)x2，x0，1，1x，x1，e(其中e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx的值为()A.43 B2 C1 D.23解析：根据定积分的性质，可知0e f(x)dx可以分为两段，则0ef(x)dx01x2dx1e1xdx13x3 10ln x e013143.答案：A 4.考点二12 x24x3dx_.解析：根据定积分的几何意义，可知12x24x3 dx表示圆(x2)2y21与x1，x2及y0所围成的圆的面积的14，即12 x24x3dx4.答案：45.考点二 11 1x2sin xdx_.解析：令1x2y，则x2y21(y0)，该方程表示以(
8、0,0)为圆心，1为半径的圆的一半所以111x2dx表示圆x2y21与x轴所围成的上半圆的面积，因此 111 1x2dx 2.又因为11sin xdx(cos x)11cos 1cos(1)0，所以11 1x2sin xdx2.答案：2突破点(二)定积分的应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”1定积分与曲边梯形面积的关系如图：设阴影部分面积为S.图形阴影部分面积Sabf(x)dxS_ abf(x)dx图形阴影部分面积S Sabf(x)dxabg(x)dxabf(x)g(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx2求变速运动的路程 做变速运动的物体在时间a，b上所经过的路程s，等于其速度函数vv(
9、t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sabv(t)dt.具体步骤为：找出速度函数vv(t)，作出图形观察vv(t)的图形是否满足v(t)0.若v(t)0，则相应的时间段a，b上的路程为sab v(t)dt；若v(t)0，则相应的时间段a，b上的路程为sabvtdt abv(t)dt.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用定积分求平面图形的面积例1 由曲线y x，直线yx2及y轴所围成的图形的面积为()A.103 B4 C.163 D6解析 作出曲线y x和直线yx2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积由y x，yx2得交点A(4,2)因此 y x与 yx2 及 y 轴所围成
10、的图形的面积为04xx2 dx 04 xx2dx 23x3212x22x 40238121624163.答案 C方法技巧利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案 定积分在物理中的应用例2(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t251t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln113 C425ln 5 D450ln 2 解 析 由 v(t
11、)7 3t 251t 0，可 得 t 4t83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s，此 期 间 行 驶 的 距 离 为 04v(t)dt 0473t 251t dt 7t32t225ln1t 40425ln 5.答案 C(2)一物体在力 F(x)5，0 x2，3x4，x2(单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x0 处运动到 x4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为_J.解析 由题意知，力 F(x)所做的功为W04F(x)dx025dx24(3x4)dx5x|2032x24x 42 52324244322242 36(J)答案 36方法技巧定积分在物理中的两个应用(1)求物体
12、做变速直线运动的路程：如果物体做变速直线运动，且其速度为vv(t)(v(t)0)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sbav(t)dt.(2)求变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa移动到xb时，力F(x)所做的功是WbaF(x)dx.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.考点二若x(单位：m)表示位移的大小，一物体在力F(x)x(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4 m，力F(x)做功为()A8 J B12 J C15 J D.163 J解析：由题意得W04 xdx23x32 40163 J.答案：D 2.曲线 y2x与直线 yx1 及 x4 所围成
13、的封闭图形的面积为()A2ln 2 B2ln 2C4ln 2 D42ln 2解析：由曲线 y2x与直线 yx1 联立，解得 x1，x2，如图所示，故所求图形的面积为S42x12x dx12x2x2ln x 4242ln 2.答案：D考点一3.考点一(2016衡阳一模)如图，阴影部分的面积是()A32 B16 C323D83解析：由题意得，阴影部分的面积S 13 (3x22x)dx3x13x3x2 1313323.答案：C 解析：如图所示，由 x210，得抛物线与 x 轴的交点分别为(1，0)和(1,0)所以 S02|x21|dx01(1x2)dx12(x21)dxxx3310 x33 x21113 832131 2.答案：24由抛物线yx21，直线x0，x2及x轴围成的图形面积为_5.考点二物体A以速度v3t21(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是_m.解析：设b s后两物体相遇，则0b(3t21)dt0b10tdt5，即b3b5b25，(b21)(b5)0，解得b5，此时物体A离出发地的距离为05(3t21)dt(t3t)|50535130(m)答案：130
