1、广西南宁市第三中学2020届高三数学考试题一 理（含解析）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项符合.）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再求交集即可.【详解】由已知，又，则.故选：D.【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题.2. 已知，则复数（ ）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则和复数的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2、3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后利用二倍角公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意结合诱导公式可得：，则.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据三棱锥体积公式直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为高为的三棱锥三棱锥体积：本题正确选项：【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图确定几何体的底面积和高，属于基础题.
3、5. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为圆与圆的位置关系，据此求解实数a的取值范围即可，据此确定a的最大值即可.【详解】若点P满足，则点P在以AB为直径的圆上，据此可知，满足题意时，圆与圆有公共点，两圆的圆心距：，两圆的半径，满足题意时应有：，即：，求解关于实数a的不等式可得：，则的最大值为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 已知的展开式中，二项式系数和为，各项系数和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分
4、析】由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可.【详解】展开式二项式系数和为，则：，故.则各项系数和为，据此可得：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查二项式系数与各项系数和的含义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】函数的定义域关于坐标原点对称，且由函数的解析式可知：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，则，当时，单调递减，当时，单调递增，即函数在区间内先单调递减，再单调递增，据此可排除B选项，本题选择A选项.【点睛】
5、函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象利用上述方法排除、筛选选项8. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合正态分布的对称性得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.【详解】随机变量服从正态分布，则正态分布的图象关于直线对称，结合有，解得：.本题选择C选项.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值充
6、分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.9. 已知的三边满足条件，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后确定的大小即可.详解】由可得：，则，据此可得本题选择D选项.【点睛】本题主要考查余弦定理及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10. 已知为的一个对称中心，则的对称轴可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意首先确定的值，然后求解函数的对称轴即可.【详解】由题意可知，当时，据此可得：，令可得，则函数的解析式为，函数的对称轴满足：，解得：，令可知函数的一条对称轴为，且很明显选项ACD不是函数的对称轴.本题选
7、择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数对称轴方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件建立等量关系，进一步利用通径和焦距间的等量求出双曲线的离心率【详解】解：双曲线的左右焦点分别为、，过作垂直于实轴的弦，若，则：为等腰直角三角形由于通径，则：，解得：，所以：，解得：；由于e1，所以：，故选：C【点睛】本题考查通径在求离心率中的应用，等腰直角三角形的性质的应用属于基础题型12. 是单调函数,对任意都有，则的值为（
8、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】令，根据对任意都有，对其求导，结合是单调函数，即可求得的解析式，从而可得答案.【详解】令，则，.是单调函数，即.故选A.【点睛】本题考查的知识点是函数的值，函数解析式的求法，其中解答的关键是求出抽象函数解析式，要注意对已知条件及未知条件的凑配思想的应用二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知向量，若与垂直，则实数_【答案】-1【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k的方程，解方程即可求得实数k的值.【详解】由平面向量的坐标运算可得：，与垂直，则，即：，解得：.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直
9、的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14. 若变量、满足约束条件，则的最大值为_【答案】8【解析】【分析】首先画出可行域，然后确定目标函数的最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值，其最大值为：.【点睛】求线性目标函数zaxby(ab0)的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.15. 在三棱锥中，两两相互垂直，则此三棱锥内切球的半径为_【答案】或【解析】【分析】首先求得棱锥的
10、表面积，然后利用等体积法求解三棱锥的内切球半径即可.【详解】由题意可知，三棱锥的三个面是直角边长为1的等腰直角三角形，一个面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为：，设三棱锥的内切球半径为，利用等体积法可知：，即：，解得：，即.【点睛】本题主要考查三棱锥的空间结构特征，棱锥内切球半径的计算，等体积法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 已知抛物线，过的焦点的直线与交于，两点弦长为，则线段的中垂线与轴交点的横坐标为_【答案】【解析】【分析】首先确定线段AB所在的方程，然后求解其垂直平分线方程，最后确定线段的中垂线与轴交点的横坐标即可.【详解】设直线的倾斜角为，由抛物线的焦
11、点弦公式有：，则，由抛物线的对称性，不妨取直线AB的斜率，则直线的方程为：，与抛物线方程联立可得：，由韦达定理可得：，设的中点，则，其垂直平分线方程为：，令可得，即线段的中垂线与轴交点的横坐标为.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一
12、）必考题：共60分.17. 已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依题意，可求得当时，；当时，利用可得，从而可判断数列是首项为，公比为的等比数列，继而可求数列的通项公式；（2），利用错位相减法即可求得求.【详解】（1），-得，则，在式中，令，得.数列是首项为2，公比为2的等比数列，；（2）.所以则-得，.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，着重考查数列的错位相减法求和，考查学生计算能力，属于中档题18. 通过随机询问名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表： 男女总计读营养说明不读营养说明
13、总计附：（1）由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别和是否看营养说明有关系呢？（2）从被询问的名不读营养说明的大学生中随机选取名学生，求抽到女生人数的分布列及数学期望.【答案】(1) 在犯错误的概率不超过的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.（2）分布列见解析；.【解析】分析：(1)先根据卡方公式计算，再与参考数据比较作判断，（2）先确定随机变量得取法，再利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解： （1）由计算可得的观测值为因为，而所以在犯错误的概率不超过的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”（2）的取值为，的分布列为的数学期望点睛：求
14、解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这
15、种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.19. 在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，E，F分别为AD，PC的中点求证：平面BEF；若，求二面角的余弦值【答案】(1)见解析;(2) .【解析】【分析】（1）连接交于，并连接，由空间几何关系可证得，利用线面平行的判断定理可得平面.（2）（法一）取中点，连，由二面角的定义结合几何体的特征可知为二面角的平面角,计算可得二面角的余弦值为.（法二）以为原点，、分别为、建立直角坐标系，则平面法向量可取：,平面的法向量,由空间向量的结论计算可得二面角的余弦值为.【详解】（1）连接交于，并连接，为中点
16、， ，且，四边形为平行四边形， 为中点，又为中点， ， 平面，平面，平面.（2）（法一）由正方形可得， .取中点，连，侧面 底面，且交于， ，面，又，为二面角的平面角,又，所以二面角的余弦值为.（法二）由题意可知 面， ，如图所示，以为原点，、分别为、建立直角坐标系，则，.平面法向量可取：,平面中，设法向量为，则 ,取,，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查线面平行的判断定理，二面角的定义与求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与，当直线的斜率为0时，.（1）求椭圆的方程；（2）求由，四
17、点构成的四边形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系和弦长AB，CD，解方程可得c，进而得到椭圆方程；（2）讨论当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，当两弦斜率均存在且不为0时，设，设出直线AB的方程，可得CD的方程，分别代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由四边形的面积公式，结合基本不等式即可得到取值范围【详解】（1）由题意知，则，.所以，所以椭圆的方程为；（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知.当两弦斜率均存在且不为0时，设，且设直线的方程为，则直线的方程为.将直线的方程代入椭圆方程中，并整
18、理得，则所以，同理，所以，由，当且仅当时取等号.，综合与可知，.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，运用基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】【分析】（1）函数的定义域为，且，分类讨论可得当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增.（2）分类讨论：（I）当时，在上单调递增，易知成立；（II）当时，在上单调递减，整理计算可知，不合题意，舍去.则的取值范围为.【详解】（1）. ， ，（I）当时，在上
19、单调递增；（II）当时，在上单调递减；在，上单调递增.（2）（I）当时，由（1）知在上单调递增；， 即有：，从而可得：， ；（II）当时，由（1）知在上单调递减；，即有：，从而可得：，不合题意，舍去 综上所述，实数的取值范围为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数
20、的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点.若直线与曲线相交于不同的两点，求的值.【答案】(1) 直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为;(2) .【解析】【分析】（1）消去参数可得直线的普通方程为，极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为.（2）联立直线的参数方程
21、与曲线C的直角坐标方程，结合参数的几何意义可得【详解】（1）由直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为，又将曲线的极坐标方程化为，曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入中，得，得此方程的两根为直线与曲线的交点，对应的参数，得，由直线参数的几何意义，知【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.选修4-5：不等式选讲23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）关于不等式的解集不是空集，求实数的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）利用绝对值的几何意义求出最小值为，由的解集不是空集，可得.详解：（1），当时，不等式可化为，解得，所以；当，不等式可化为，解得，无解；当时，不等式可化为，解得，所以综上所述，（2）因为且的解集不是空集，所以，即的取值范围是点睛：绝对值不等式的常见解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
