1、模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1已知向量a(cos 75，sin 75)，b(cos 15，sin 15)，则|ab|的值为()AB1 C2D3B如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a，b，则|ab|且xOA75，xOB15，于是AOB60，又因为|a|b|1，则AOB为正三角形，从而|ab|1.2函数y3sincos的最小正周期为()AB C8D4Ay3sincos 2sin，所以T.3已知cos()，cos()，则tan tan 等于()AB CDB因为cos()，cos
2、()，所以解得所以tan tan .4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B，a，sin2B2sin Asin C，则ABC的面积S()AB3 CD6B由sin2B2sin Asin C及正弦定理，得b22ac，又B，所以a2c2b2.联立解得ac，所以S3.5已知|p|2，|q|3，p，q的夹角为，如图，若5p2q，p3q，D为BC的中点，则|为()AB C7D18A()(6pq)，| .6若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与
3、l1，l2中的一条相交D法一：由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾故l至少与l1，l2中的一条相交法二：如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确图1图27如图，在圆O中，若弦AB3，弦AC5，则的值是()A8B1C1D8D取BC的中点D，连接AD，OD(图略)，则有ODBC()，()()()(22)(5232)8，故选D8函数ycosxsinx在一个周期内的图象是()ABCDByc
4、os xsin xsin xcos xcos xsin xsin xcos xcos x(sin x)2sin xcos xsin 2x，故选B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9已知复数z，则以下说法正确的是()A复数z的虚部为Bz的共轭复数C|z|D在复平面内与z对应的点在第二象限CDzi，复数z的虚部为，z的共轭复数，|z|，复平面内与z对应的点的坐标为，在第二象限故选CD10已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理正确的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，
5、B，BABCl，AlADA，Al，llAABD对于选项A：由基本事实2知，l，故选项A正确；对于选项B：因为，表示不同的平面，由基本事实3知，平面，相交，且AB，故选项B正确；对于选项C：l分两种情况：l与相交或l.当l与相交时，若交点为A，则A，故选项C错误；对于选项D：由基本事实2逆推可得结论成立，故选项D成立；故选ABD11已知函数f2cos22x2，下列命题中的真命题有()AR，f为奇函数B，ff对xR恒成立Cx1，x2R，若2，则的最小值为Dx1，x2R，若ff0，则x1x2kBC由题意f2cos22x2cos 4x1；fcos 4x1的图象如图所示；函数f的图象是f的图象向左或向右
6、平移个单位，它不会是奇函数的，故A错误；若 ff，cos 4x1cos 1，82k，kZ；又，取或时，ff对xR恒成立，故B正确； 2时， 的最小值为，故C正确；当ff0时， x1x2kTk，故D错误；故选BC12如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，ABCD，ABAD，AB2AD2CD2，F是AB的中点，E是PB上的一点，则下列说法正确的是()A若PB2PE，则EF平面PACB若PB2PE，则四棱锥PABCD的体积是三棱锥EACB体积的6倍C三棱锥PADC中有且只有三个面是直角三角形D平面BCP平面ACEAD对于选项A，因为PB2PE，所以E是PB的中点，因
7、为F是AB的中点，所以EFPA，因为PA平面PAC，EF平面PAC，所以EF平面PAC，故A正确；对于选项B，因为PB2PE，所以VPABCD2VEABCD，因为ABCD，ABAD，AB2AD2CD2，所以梯形ABCD的面积为AD1，SABCABAD211，所以VEABCDVEABC，所以VPABCD3VEABC，故B错误；对于选项C，因为PC底面ABCD，所以PCAC，PCCD，所以PAC，PCD为直角三角形，又ABCD，ABAD，所以ADCD，则ACD为直角三角形，所以PA2PC2AC2PC2AD2CD2，PD2CD2PC2，则PA2PD2AD2，所以PAD是直角三角形，故三棱锥PADC的
8、四个面都是直角三角形，故C错误；对于选项D，因为PC底面ABCD，所以PCAC，在RtACD中，AC，在直角梯形ABCD中，BC，所以AC2BC2AB2，则ACBC，因为BCPCC，所以AC平面BCP，所以平面BCP平面ACE，故D正确，故选AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13已知复数z满足(12i)z34i，则|z|_.(12i)z34i，|12i|z|34i|，则|z|.14设向量a(3,3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_.3因为ab(3，3)，ab(3，3)，又(ab)(ab)，所以(ab)(ab)(3)(3)(3)(3)0，解得3.1
9、5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_60如图，取A1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EFGM，且GMH为正三角形异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角HGM.而在正三角形GMH中HGM60.16关于函数f(x)coscos，有下列说法：yf(x)的最大值为；yf(x)是以为最小正周期的周期函数；yf(x)在区间上是减少的；将函数ycos 2x的图象向左平移个单位长度后，将与已知函数的图象重合其中正确说法的序号是_f(x)cos2xcos2xcos2xcos2xcos2xsin
10、2xcos2xcos2x，所以正确，错误四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)设向量e1，e2的夹角为60且|e1|e2|1，如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)(1)证明：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k的值，使k的取值满足向量2e1e2与向量e1ke2垂直解 (1)证明：因为e1e2，5e15e2，所以5，即，共线，又，有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为(2e1e2)(e1ke2)，所以(2e1e2)(e1ke2)0，2e2ke1e2e1e2ke0，即2kk0，解得k.18(本小题满分12分)已知，且sin
11、cos .(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解(1)因为sin cos ，两边同时平方，得sin .又，所以cos .(2)因为，所以，故.又sin()，所以cos().cos cos()cos cos()sin sin().19(本小题满分12分)已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为.f(x)4tan xcos xcos4sin xcosx4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正
12、周期为T.(2)令z2x，则函数y2sin z的递增区间是2k，2k，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.设A，Bxkxk，kZ，易知AB，.所以当x，时，f(x)在区间，上是递增的，在区间，上是递减的20(本小题满分12分)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA证明(1)因为ASAB，AFSB，垂足为F，所以F是SB的中点又因为E是SA的中点，所以EFAB因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC同理EG平面ABC又EFEGE，所以平面EF
13、G平面ABC(2)因为平面SAB平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC因为BC平面SBC，所以AFBC又因为ABBC，AFABA，AF平面SAB，AB平面SAB，所以BC平面SAB因为SA平面SAB，所以BCSA21(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC解(1)在ABD中，由正弦定理得，由题设知，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB .(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC2582
14、5225，所以BC5.22(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBC，AB2A1A4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1.(1)求证：DC1平面A1ABB1；(2)若二面角A1DCA为45；求证：平面A1C1D平面A1AD；求直线AB1与平面A1AD所成角的正切值解 (1)证明：连接AB1，ADBCB1C1且ADBCB1C1，四边形ADC1B1为平行四边形，AB1DC1，又AB1平面A1ABB1，DC1平面A1ABB1，DC1平面A1ABB1.(2)证明：取DC的中点M，连接A1M，AM.易知RtA1ADRtA1AC，A1DA1C，A1MDC，又AMDC，A1MA为二面角A1DCA的平面角，A1MA45.在RtA1AM中，AA1AM2，ADAC2，AC2AD2DC2，ACAD，又ACAA1，ADAA1A，AC平面A1AD，又ACA1C1，A1C1平面A1ADA1C1平面A1C1D，平面A1C1D平面A1ADAB1C1D，C1D与平面A1AD所成角与AB1与平面A1AD所成角相等由知C1A1平面A1AD，A1D为C1D在平面A1AD内的射影，故A1DC1为直线DC1与平面A1AD所成角，在RtA1DC1中，tanA1DC1，直线AB1与平面A1AD所成角的正切值为.
