1、5.1.2 数据的数字特征必备知识自主学习1.最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值,最值反映的是这组数最极端的情况.符号:最大值用max表示,最小值用min表示.导思1.数据的数字特征主要有哪些?2.实际问题是如何用数字特征刻画的?3.方差与标准差有什么关系?2.平均数(1)定义:如果给定的一组数是x1,x2,xn,则这组数的平均数为=_.这一公式在数学中常简记为=_(x1+x2+xn)(2)求和符号具有的性质(3)如果x1,x2,xn,的平均数为,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,axn+b的平均数是_.a+b3.中位数(1)如果一组数有奇数个数,且按照从小到大排列后为x1,
2、x2,x2n+1,则称_为这组数的中位数;(2)如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,x2n,则称_为这组数的中位数.xn+14.百分位数(1)定义:一组数的p%(p(0,100)分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有_的数据不大于该值,且至少有_的数据不小于该值.(2)计算方法:设一组数按照从小到大排列后为x1,x2,xn,计算i=np%的值,如果i不是整数,设i0为大于i的最小整数,取_为p%分位数;如果i是整数,取_为p%分位数.规定:0分位数是x1(即最小值),100%分位数是xn(即最大值)p%(100-p)%【思考】中位数和百分位数的关系是什么?提示:中位数是
3、50%分位数.5.众数一组数据中,某个数据出现的次数称为这个数据的频数,出现次数_的数据称为这组数据的众数.6.极差一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.最多7.方差与标准差如果x1,x2,xn,的平均数为,则_,方差的算术平方根称为标准差.如果x1,x2,xn,的方差为s2,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,axn+b的方差是_.方差s2=a2s2【思考】(1)方差和标准差的取值范围是什么?方差、标准差为0的含义是什么?提示:标准差、方差的取值范围:0,+).标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度.(2)方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的?提
4、示:标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)对于一组数据来说,众数是唯一的.()(2)中位数在一组数据中是唯一的,且一定是这组数据中的一个数据.()(3)x1,x2,x3的平均数为,方差为s2,则2x1-1,2x2-1,2x3-1的平均数为2-1,方差为4s2-1.()(4)方差、标准差是反映样本波动大小的特征数.()2.(教材二次开发:例题改编)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为_,25%分位数为_.答案:653.样本中共有5个个体,其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均
5、值为1,则样本方差为_.【解析】由题意知(a+0+1+2+3)=1,解得a=-1.所以样本方差为s2=(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2=2.答案:2关键能力合作学习类型一 最值、平均数、众数(数学抽象、数学运算)【典例】某公司员工的月工资情况如表所示:(1)分别计算该公司员工月工资的最值、平均数和众数.(2)你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理?【思路导引】(1)依据最值、众数的定义及平均数的计算公式求值.(2)根据第(1)问的计算结果和实际意义作答.月工资/元80 00050 00040 00020 00010 0008 0007 000员工/人
6、125820122【解题策略】1.最值和众数的求法在样本数据中出现次数最多的数据即为众数,最大的数是最大值,最小的数是最小值.2.求平均数的步骤(1)求和:数据x1,x2,xn的和为x1+x2+xn.(2)求平均数:和除以数据的个数n,即x1,x2,xn的平均数为(x1+x2+xn).【跟踪训练】1.(2020江苏高考)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是_.【解析】由=4可知a=2.答案:22.某校在一次考试中,甲、乙两班学生的数学成绩统计如下:选用平均数与众数评估这两个班的成绩.分数5060708090100人数甲班161211155乙班351531311【补偿训练
7、】1.已知样本数据x1,x2,x10,其中x1,x2,x3的平均数为a;x4,x5,x10的平均数为b,则样本数据的平均数为()【解析】选A.因为x1,x2,x3的平均数为a,所以x1,x2,x3的和为3a,因为x4,x5,x10的平均数为b,所以x4,x5,x10的和为7b,则样本数据的和为3a+7b,样本数据的平均数为.2.某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;乙群:54,3,4,4,5,6,6,6,6,56.(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映甲
8、群市民的年龄特征?(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征?类型二 中位数、百分位数的计算(数学运算、数据分析)【典例】近年来,某市私家车数量持续增长,2015年至2019年该市私家车数量依次为15,19,22,26,30(单位:万辆),则(1)该组数据的中位数是_;(2)10%分位数是_,20%分位数是_.【思路导引】(1)排序并数出数据总数,依据中位数的定义计算;(2)依据百分位数的定义计算.【解题策略】1.求中位数的一般步骤(1)把数据按大小顺序排列.(2)找出排列后位于中间位置的数据,即为中位数.若中间位置有两个数据,则求出这两个
9、数据的平均数作为中位数.2.求百分位数的一般步骤(1)排序:按照从小到大排列:x1,x2,xn.(2)计算:求i=np%的值.(3)求值:分类p%分位数i不是整数,其中i0为大于i的最小整数i是整数【跟踪训练】在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示:分别求这些运动员成绩的中位数,25%分位数,75%分位数.成绩(单位:m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111【补偿训练】某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)命中环数的中位数为_.(2)命中环数的25%分位数为_.
10、(3)命中环数的75%分位数为_.类型三 极差、方差与标准差的计算和应用(数学运算)角度1计算问题【典例】1.设n个数据x1,x2,xn的平均数为,则其方差s2=若数据a1,a2,a3,a4的方差为3,则数据2a1+1,2a2+1,2a3+1,2a4+1的方差是()A.6B.8C.10D.122.甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:吨/公顷).则甲、乙两种水稻产量的极差分别为_、_.第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.83.(2019江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是_.【思路
11、导引】1.若变量x的方差为s2,y=ax+b,则变量y的方差为a2s2.2.依据极差的定义求值;3.首先求得平均数,然后求解方差即可.角度2应用问题【典例】某厂准备在甲、乙两位工人中派一名工人参加省活动技能大赛,为此安排甲、乙两位工人在厂实习基地现场进行加工直径为30 mm的零件测试,他俩各加工10个零件,甲、乙两个人加工这10个零件的数据(单位:mm)用如下的数表所示:12345678910甲30.030.030.029.930.030.029.929.930.130.2乙30.229.830.230.229.829.830.129.930.030.0注:表格中第一列表示的意义是:甲、乙现场
12、加工第一个零件的数据分别是30.0和30.2,第二列表示的意义是:甲、乙现场加工第二个零件的数据分别是30.0和29.8,其他列,以此类推.(1)若考虑平均数与完全符合要求的个数,你认为谁的成绩好些?(2)计算甲、乙两个人的方差,考虑平均数与方差,说明谁的成绩好一些?【思路导引】(1)根据表中数据可求出甲、乙的平均数,分别确定甲、乙的完全符合要求的个数.(2)分别求出甲和乙的方差,较小的成绩好些.【解题策略】1.计算标准差的五个步骤(1)算出样本数据的平均数.(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差:xi-(i=1,2,3,n).(3)算出(2)中xi-(i=1,2,3,n)的平方.(4)算
13、出(3)中n个平方数的平均数,即为样本方差.(5)算出(4)中方差的算术平方根,即为样本标准差.2.标准差(方差)的两个作用(1)标准差(方差)较大,数据的离散程度较大;标准差(方差)较小,数据的离散程度较小.(2)在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下,比较方差或标准差来确定稳定性.【题组训练】某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训,两人各射了5箭,他们的总成绩(单位:环)相同,小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表,并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业).甲、乙两人射箭成绩统计表第1次第2次第3次第4次第5次甲成绩94746乙成绩75
14、7a7(1)a=_;=_;(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线;(3)观察图,可看出_的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”).参照小宇的计算方法,计算乙成绩的方差.请你从平均数和方差的角度分析,谁将被选中.课堂检测素养达标1.已知一组数据2,1,x,7,3,5,3,2的众数是2,则这组数据的中位数是()A.2B.2.5C.3D.5【解析】选B.由众数的意义可知x=2,然后按照从小到大的顺序排列这组数据,则中位数应为=2.5.【补偿训练】已知一组数据-3,-2,0,6,6,13,20,35,则它的中位数和众数各是()A.6和6B.3和6C.6和3D.9.5和6【解析】选A.因为从小到大排列的这8
15、个数,排在中间的两个数都是6,所以中位数是6;因为6出现的次数最多,所以众数是6.2.甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如表所示,则进入决赛的最佳人选应是()A.甲B.乙C.丙D.丁甲乙丙丁7887s26.36.378.73.(教材二次开发:练习改编)一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是()A.57.2,3.6B.57.2,56.4C.62.8,63.6D.62.8,3.6【解析】选D.每一个数据都加上60,所得新数据的平均数增加60,而方差保持不变.4.某班8名学生的体重(单位:
16、kg)分别是:42,48,40,47,43,58,47,45,则这组数据的极差是_,中位数是_,25%分位数是_.【解析】因为所给数据的最大值是58,最小值是40,所以极差是58-40=18.将所给数据按从小到大的顺序排列是40,42,43,45,47,47,48,58.因为这组数据共8个,处于中间位置的是第4个数和第5个数,故这组数据的中位数是=46.因为825%=2,所以这组数据的25%分位数是=42.5.答案:184642.55.若五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则a=_,这五个数的标准差是_.【解析】由=3,得a=5;由s2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=2,得标准差s=.答案:5
