1、6.1.3 向量的减法必备知识自主学习导思1.相反向量是如何定义的?2.向量的减法运算是如何定义的?满足怎样的运算法则?1.相反向量定义:如果两个向量大小_,方向_,那么称这两个向量是相反向量.性质:(1)对于相反向量有:a+(-a)=_.(2)若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0.(3)零向量的相反向量仍是_.相等相反0零向量【思考】(1)有人说:相反向量即方向相反的向量,定义中“大小相等”是多余的,对吗?提示:不对,相反向量要从“模”与“方向”两个方面去理解,不是仅方向相反,还必须大小相等.(2)互为相反向量的两个向量共线吗?提示:互为相反向量的两个向量一定是共线向量,并且任一向量
2、与它的相反向量的和是零向量.2.向量的减法【思考】(1)由向量减法作图方法,求差的两个向量的起点是怎样的?差向量的方向如何?提示:求差的两个向量是共起点的,差向量连接两向量终点,方向指向被减向量.(2)由向量减法的定义,你认为向量的减法与加法有何联系?提示:向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,就可以把减法转化为加法.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两向量首尾相连,和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点.()(2)向量a-b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量.()(3)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.()
3、(4)向量与向量是相反向量.()2.(教材二次开发:例题改编)在ABC中,若=a,=b,则等于()A.aB.a+bC.b-aD.a-b【解析】选D.=a-b.3.设b是a的相反向量,则下列说法正确的有_.a与b的长度必相等;ab;a与b一定不相等;a是b的相反向量.【解析】因为0的相反向量是0,故说法不正确.其他均正确.答案:关键能力合作学习类型一 向量的减法(数学运算、数学抽象)【题组训练】1.在ABC中,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点,则等于()2.如图,已知向量a,b,c,求作a-b-c.3.化简:【解题策略】1.作两向量的差的步骤2.求两个向量的减法的注意点(1)可以转化为向量
4、的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后用加法a+(-b)即可.(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用.【补偿训练】如图所示,O是四边形ABCD内任一点,试根据图中给出的向量,确定a,b,c,d的方向(用箭头表示),使a+b=,c-d=,并画出b-c和a+d.类型二 向量的加减法运算(数学抽象、数学运算)【典例】下列各式:其中结果为零向量的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【思路导引】改写向量的顺序,首尾相连可求和,起点重合或者终点重合可求差.【解题策略】向量减法运算的常用方法【跟踪训练】化简:=_.【解析】原式=答案:类型三 向量加减运算几何意义的应用(直观想象、逻辑推理
5、、数学运算)角度1 利用已知向量表示未知向量【典例】如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量【思路导引】由平行四边形的性质可知=c,由向量的减法可知:由向量的加法可知【解析】因为四边形ACDE是平行四边形,所以=c,=b-a,故=b-a+c.【变式探究】本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”,其他条件不变,其结论又如何呢?角度2 求解或证明几何问题【典例】已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,则|a+b|的值为_.【思路导引】作出图形,利用向量加减法的几何意义求
6、解.【解题策略】1.利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意(1)一个关键一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.(2)三点注意注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系;注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;注意在封闭图形中利用多边形法则.2.利用向量加、减法求解或证明问题的一般步骤(1)由题意作出相对应的几何图形,构造有关向量.(2)利用三角形法则和平行四边形法则、对向量的加、减法进行运算.(3)构造三角形(一般是直角三角形),利用三角形的边、角关系解题.【题组训练】1.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,|2=16,|=|,则|=()A.8
7、B.4C.2D.1【解析】选C.由|=|可知,垂直,故ABC为直角三角形,|即斜边BC的中线,所以|=2.2.如图,解答下列各题:(1)用a,d,e表示;(2)用b,c表示;(3)用a,b,e表示;(4)用d,c表示.3.如图,在ABC中,D,E分别为边AC,BC上的任意一点,O为AE,BD的交点,已知=a,=b,=c,=e,用a,b,c,e表示向量.【补偿训练】如图所示,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,试用a,b,c,d,e,f表示:课堂检测素养达标1.下列等式:0-a=-a;-(-a)=a;a+(-a)=0;a+0=a;a-b=a+(-b),正确的个数是()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.根据向量的加减运算易知均正确.2.在ABC中,D是BC边上的一点,则等于()【解析】选C.在ABC中,D是BC边上一点,则由两个向量的减法的几何意义可得3.(教材二次开发:练习改编)下列计算正确的是()【解析】选B.根据向量减法的三角形法则,显然有4.在矩形ABCD中,=2,|=4,则=_.【解析】在矩形ABCD中.答案:45.化简下列各式:
