1、5.3.5 随机事件的独立性必备知识自主学习1.事件的相互独立性定义设A,B为两个事件,若P(AB)=_,则称事件A与事件B相互独立.导思1.事件A与B相互独立的概念是什么?2.如果事件A与B相互独立,则与B,与A,与也相互独立吗?3.两事件互斥与两事件相互独立是一个意思吗?P(A)P(B)【思考】互斥事件与相互独立事件的区别是什么?提示:相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A,B同时发生,记作:AB互斥事件A,B中有一个发生,记作:AB(或A+B)计算公式P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)+P(
2、B)2.相互独立事件性质及计算公式当事件A,B相互独立时,_与,与_,与 _也相互独立.若事件A,B相互独立,则P(AB)=_;若事件A1,A2,An相互独立,则P(A1A2An)=_.ABP(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)【思考】怎样用语言描述相互独立事件同时发生的概率?提示:相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)若事件A,B相互独立,则()(2)若事件A与相互独立,则B与相互独立.()(3)“P(AB)=P(A)P(B)”是“事件A与B相互独立”的充要条件.()2.(教材二次开发:例题改编)甲、乙两人投球
3、的命中率分别为甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为()【解析】选A.“甲投球一次命中”记为事件A,“乙投球一次命中”记为事件B,“甲、乙两人各投一次,恰好命中一次”记为事件C,则C=且(A )与(B)互斥,P(C)=P(A)P()+P()P(B)=3.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为_.【解析】记两个实习生把零件加工为一等品分别为事件A和B.则P=答案:关键能力合作学习类型一 相互独立事件的判断(数学抽象)【题组训练】1.下列事件中,A,B是相互独立事件的是()A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”
4、,B=“第二次为反面”B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”2.袋中有除颜色外,其他完全相同的黑、白两种颜色的球,从中进行有放回地摸球,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则A1与是()A.相互独立事件B.不相互独立事件C.互斥事件D.对立事件【解析】1.选A.把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A选项是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,应为互斥事件,
5、不相互独立;D是条件概率,事件B受事件A的影响.2.选A.根据相互独立事件的概念可知,A1与A2相互独立,故A1与也相互独立.【解题策略】两个事件是否相互独立的判断方法(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B为相互独立事件.【补偿训练】从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张,设事件A为“抽到K”,事件B为“抽到红牌”,事件C为“抽到J”,那么下列每对事件是否相互独立?是否互斥?是否对立?为什么?(1)A与B;(2)C与A.【解析】(1)由于事件A为“抽到K”,事件B为“抽到
6、红牌”,故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K,即有可能抽到K,故事件A,B有可能同时发生,显然它们不是互斥事件,更加不是对立事件.以下考虑它们是否为相互独立事件:抽到K的概率为P(A)=抽到红牌的概率为P(B)=事件AB为“既抽到K又抽到红牌”,即“抽到红桃K或方块K”,故P(AB)=从而有P(A)P(B)=P(AB),因此A与B是相互独立事件.(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张,抽到K就不可能抽到J,抽到J就不可能抽到K,故事件C与事件A不可能同时发生,A与C互斥,由于P(A)=0,P(C)=0,P(AC)=0,所以A与C不是相互独立事件,又抽不到K也不一定抽到J,故A与C并非对立
7、事件.类型二 相互独立事件发生的概率(数学运算、逻辑推理)【典例】甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位,3人能被选中的概率分别为且各自能否被选中互不影响.(1)求3人同时被选中的概率;(2)求3人中至少有1人被选中的概率.【思路导引】(1)3个独立事件直接利用乘法公式计算.(2)可以分类求1人被选中,2人被选中,3人被选中,再用概率加法公式求概率;也可以先求三人均未被选中的概率,再利用对立事件概率公式求解.【变式探究】若本例条件“3人能被选中的概率分别为”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为,两人都被选中的概率为,丙被选中的概率为”,求恰好有2人被选中的概率.【解题策略】1.求相互
8、独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的.(2)确定这些事件可以同时发生.(3)求出每个事件的概率,再求积.2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生.【跟踪训练】某工厂生产一种汽车的元件,该元件是经过A,B,C三道工序加工而成的,A,B,C三道工序加工的元件合格率分别为已知每道工序的加工都相互独立,三道工序加工都合格的元件为一等品;恰有两道工序加工合格的元件为二等品;其他的为废品,不进入市场.(1)生产一个元件,求该元件为二等品的概率;(2)若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测,求至少有
9、2个元件是一等品的概率.【思路导引】(1)先分为互斥的三个事件,再根据独立事件的概率求解;(2)分为2个元件是一等品和3个元件是一等品两种情况求解.类型三 相互独立事件概率的实际应用(数学建模、数学运算)【典例】(2020聊城高一检测)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到如表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值,假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2
10、)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率.【思路导引】(1)根据表格,得到总的电影部数,再计算出获得好评的第四类电影部数,从而得到答案;(2)记“从第四类电影中随机选取的1部获得好评”为事件A,“从第五类电影中随机选取的1部获得好评”为事件B,根据表格得到从而根据公式,计算出所求的的值,得到答案.【解题策略】求复杂事件的概率一般可分三步进行(1)列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们.(2)理清各事件之间的关系,恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件.(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.【跟踪训练】在一个选拔节目中,每个选手都需要进行四轮
11、考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为且各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.备选类型 随机事件的独立性中含参问题(逻辑推理)【典例】1.有甲、乙两台机床生产某种零件,甲获得正品乙不是正品的概率为,乙获得正品甲不是正品的概率为,且每台获得正品的概率均大于,则甲、乙同时生产这种零件,至少一台获得正品的概率是_.2.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,视为合格,否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立,某同学
12、一次投篮投中的概率为p,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p=_.【思路导引】1.设甲、乙两台机床生产正品的概率分别为p,q,则p1,q1,根据题意列方程组可求p,q,再根据概率加法公式求解即可.2.由题意可得:=0.784,据此求解关于实数p的方程确定实数p的值即可.【跟踪训练】1.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率为()【解析】选A.设每次罚球的命中率为x,则两次罚球中至多命中一次的概率为1-x2=,解得x=.2.设两个相互独立事件A与B,若事件A发生的概率为p,B发生的概率为1-p,则A与B同时发生的概率的最大值为
13、_.【解析】事件A与B同时发生的概率为p(1-p)=p-p2=(p0,1),当p=时,最大值为.答案:课堂检测素养达标1.若事件A与B相互独立,则下列不相互独立的事件为()【解析】选C.由相互独立性质知也相互独立.2.已知A,B是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则1-P(A)P(B)是下列哪个事件的概率()A.事件A,B同时发生B.事件A,B至少有一个发生C.事件A,B至多有一个发生D.事件A,B都不发生【解析】选C.P(A)P(B)是指A,B同时发生的概率,1-P(A)P(B)是A,B不同时发生的概率,即至多有一个发生的概率.3.(教材二次开发:练习改编)从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任意挑选一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)()4.已知A,B是相互独立事件,且则P(A)=_,P(AB)=_.【解析】由于A,B是相互独立事件,所以A与相互独立,故P(A )=P(A)P()=P(AB)=P(A)P(B)=答案:5.如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是,且是互相独立的,则灯亮的概率为()【解析】选C.记“A,B,C,D四个开关闭合”分别为事件A,B,C,D,可用对立事件求解,图中含开关的三条线路同时断开的概率为:所以灯亮的概率为1-
