1、第六章 平面向量初步6.1 平面向量及其线性运算6.1.1 向量的概念必备知识自主学习1.向量的定义与表示(1)定义:既有_又有_的量.(2)表示方法:几何表示法:用以A为始点,以B为终点作_.导思1.向量是如何定义的?如何表示向量?2.常见的特殊向量有哪些?又是如何定义的?大小方向有向线段字母表示法:在印刷时,通常用加粗的_如a,b,c等来表示向量,在书写时,可写成带箭头的小写字母如,.(3)向量的模:向量的大小也称为向量的长度或模,如a,的模分别记作|a|,|.斜体小写字母【思考】(1)定义中的“大小”与“方向”分别描述了向量的哪方面的特性?只描述其中一个方面可以吗?提示:向量不仅有大小,
2、而且有方向.大小是代数特征,方向是几何特征.看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个要素,二者缺一不可.(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量?提示:要准确画出向量,应先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点.2.特殊向量的定义(1)定义特殊向量定义零向量始点和终点_的向量称为零向量,记作0.单位向量长度(或模)为_的向量称为单位向量.相等向量大小_且方向_的向量称为相等向量.向量a与b相等,记作a=b.平行向量或共线向量方向_的非零向量称为平行向量,也称为共线向量.向量a平行于b,记作ab.规定_平行于任何向量.相同1相等相同相同或相反零向
3、量(2)本质:注意构成向量的两个基本要素:大小与方向.(3)应用:利用向量的大小与方向判断向量的相等与共线问题.【思考】(1)0与0相同吗?0是不是没有方向?提示:0与0不同,0是一个实数,0是一个向量.0有方向,其方向是任意的.(2)若a=b,则两向量在大小与方向上有何关系?提示:若a=b,意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.(3)“向量平行”与“几何中的平行”一样吗?提示:向量平行与几何中的平行不同,向量平行包括基线重合的情况,故也称向量共线.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同.()(2)任意两个单位向量都相等.(
4、)(3)平行向量的方向相同或相反.()提示:(1).两个有共同起点,且长度相等的向量,方向不一定相同,其终点也不一定相同.(2).任意两个单位向量只有长度相等,方向不一定相同,故不一定相等.(3).由平行向量的定义可知.2.下列物理量:质量;速度;位移;力;加速度;路程;密度.其中不是向量的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.既有大小,又有方向,是向量;只有大小,没有方向,不是向量.3.(教材二次开发:例题改编)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论错误的是()A.B.C.与共线D.关键能力合作学习类型一 向量的概念、零向量与单位向量(数学抽象)【题组训练】1.以下选项中,都
5、是向量的是()A.正弦线、海拔B.质量、摩擦力C.三角形的边长、体积D.余弦线、速度2.有下列说法:若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同;若向量满足|,且与同向,则 ;若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;由于零向量方向不确定故其不能与任何向量平行.其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.43.给出下列命题:两个向量,当且仅当它们的起点相同,终点相同时才相等;若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上;在菱形ABCD中,一定有若a=b,b=c,则a=c.其中所有正确命题的序号为_.【解题策略】理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是
6、任意的,所有的零向量都相等.(2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.提醒:两个单位向量的长度相等,但这两个单位向量不一定相等.【补偿训练】在下列判断中,正确的是()长度为0的向量都是零向量;零向量的方向都是相同的;长度相等的向量都是单位向量;单位向量都是同方向;向量与向量的长度相等.A.B.C.D.【解析】选D.由定义知正确,由于两个零向量是平行的,但不能确定是否同向,也不能确定是哪个具体方向,故不正确.长度相等的向量其模不一定为1,不正确,单位向量的方向不一定相同,不正确,正确.类型二 相等向量与共线向量(直观想象)【典例】如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形ABDE是矩形.(1)找
7、出与向量相等的向量.(2)找出与向量共线的向量.【思路导引】(1)找与向量相等的向量,就是找与长度相等且方向相同的向量.(2)找与向量共线的向量,就是找与方向相同或相反的向量.【解题策略】相等向量与共线向量的探求方法1.寻找相等向量的方法:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向且共线的.2.寻找共线向量的方法:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向或反向的向量.3.共线向量与相等向量的关系:相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.若两向量相等,则两向量方向相同,模相等;若两向量共线,则两向量方向相同或相反.【跟踪训练】在等腰梯形ABCD中,A
8、BCD,对角线AC与BD相交于点O,EF是过点O且平行于AB的线段,在所标的向量中:(1)写出与共线的向量.(2)写出与方向相同的向量.(3)写出与的模相等的向量.(4)写出与相等的向量.【补偿训练】如图所示,四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取两个交点作为向量的起点和终点,则与平行且长度为2的向量有哪些?(在图中标出相关字母,写出这些向量)【拓展延伸】向量平行不具有传递性向量的平行不具备传递性,即若ab,bc,则未必有ac.因为当b=0时,a,c可以是任意向量,故a,c不一定平行;只有当b0时,才有ab,bc,则ac,即平行可传递.因此在今后学习时要特别
9、注意零向量的特殊性,解答问题时,一定看清题目中是“零向量”,还是“非零向量”.【拓展训练】下列命题正确的是()A.向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线B.向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线C.向量与是共线向量,则A,B,C,D四点一定共线D.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量类型三 向量的表示与应用(数学抽象、直观想象)角度1 向量的表示【典例】(1)如图1,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出_个向量.(2)在如图2所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:,使|=4,点A在点O北偏东45;,使|=4,点B
10、在点A正东;,使|=6,点C在点B北偏东30.【思路导引】(1)从四个点里选取排序即可;(2)先找到方向,再从该方向上截取对应的长度即可.角度2 向量在平面几何中的应用【典例】如图所示,在四边形ABCD中,N,M分别是AD,BC上的点,且求证:【思路导引】利用向量相等证明四边形ABCD,CNAM是平行四边形,进而得到向量【解题策略】1.向量的两种表示方法(1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点.(2)字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量,如等.2.两种向量表示方法的
11、作用(1)用几何表示法表示向量,便于用几何方法研究向量运算,为用向量处理几何问题打下了基础.(2)用字母表示法表示向量,便于向量的运算.3.向量相等的应用利用向量的相等,可以证明线段相等或直线平行,但需说明两向量所在的基线无公共点.用平行向量可证明(判断)直线平行,但证明直线平行时,除说明向量平行外还需说明向量所在的基线无公共点.【题组训练】1.(2020西安高一检测)在四边形ABCD中,则四边形ABCD的形状一定是()A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形【解析】选C.因为所以BACD,BA=CD,四边形ABCD是平行四边形,又,所以四边形ABCD是菱形.2.某人从A点出发向东走了5米到达B
12、点,然后改变方向按东北方向走了10米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作出向量(2)求的模.【补偿训练】一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后又改变方向向西偏北50行驶了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点.(1)作出向量(2)求这辆汽车的位移大小.备选类型 向量在生活中的应用(数学建模、数学抽象)【典例】已知飞机从A地按北偏东30的方向飞行2 000 km到达B地,再从B地按南偏东30的方向飞行2 000 km到达C地,再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地.问D地在A地的什么方向?D地距A地多远?转化模板1.
13、建由题意此架飞机的三次飞行位移是向量问题,故可以建立向量模型解决.2.设设飞机三次飞行位移分别为向量3.译已知向量的方向为北偏东30,长度为2 000 km,向量的方向为南偏东30,长度为2 000 km,向量的方向为西南方向,长度为1 000 km,求向量的方向及长度.4.解(1)由题意,作出向量,如图所示,(2)依题意知,三角形ABC为正三角形,所以AC=2 000 km.又因为ACD=45,CD=1 000 km,所以ACD为等腰直角三角形,即AD=1 000km,CAD=45.所以D地在A地的东南方向,距A地1 000 km.5.答D地在A地东南方向,距A地1 000 km.【解题策略
14、】解决实际问题的一般步骤(1)审清题意,理顺问题的条件和结论,找到关键量;(2)建立文字数量关系式;(3)转化为数学模型;(4)解决数学问题,得出相应的数学结论;(5)返本还原,即还原为实际问题本身所具有的意义.【跟踪训练】一辆消防车从A地去B地执行任务,先从A地向北偏东30方向行驶2千米到D地,然后从D地沿北偏东60方向行驶6千米到达C地,从C地又向南偏西30方向行驶2千米才到达B地.(1)在如图所示的坐标系中画出(2)求B地相对于A地的位移.课堂检测素养达标1.下列说法中正确的个数是()身高是一个向量;AOB的两条边都是向量;温度含零上和零下温度,所以温度是向量;物理学中的加速度是向量.A
15、.0B.1C.2D.3【解析】选B.只有物理学中的加速度既有大小又有方向是向量,错误.正确.2.设M是等边ABC的中心,则是()A.有相同起点的向量 B.相等的向量C.模相等的向量D.平行向量【解析】选C.由正三角形的性质知3.(教材二次开发:练习改编)设a0,b0分别是a,b方向上的单位向量,则下列结论中正确的是_(填序号).a0=b0;a0=-b0;|a0|+|b0|=2;a0b0.【解析】因为a0,b0是单位向量,|a0|=1,|b0|=1,所以|a0|+|b0|=2.答案:4.如图,O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED、OCFB都是正方形.在图中所示的向量中,(1)分别写出与相等的向量;(2)写出与共线的向量;(3)写出与模相等的向量.
