1、二维形式的柯西不等式 一般形式的柯西不等式A级基础巩固一、选择题1函数y2的最大值是()A.B.C3 D5解析：根据柯西不等式，知y12.答案：B2已知a，bR，a2b24，则3a2b的最大值为()A4 B2C8 D9解析：(a2b2)(3222)(3a2b)2，3a2b时取等号，所以(3a2b)2413.当3a2b取最大值时为正值所以3a2b2.答案：B3已知a，b0，且ab1，则()2的最大值是()A2 B.C6 D12解析：()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12，当且仅当，即ab时等号成立答案：D4设a，b，cR，且abc1，则的最大值是()A1 B.
2、C3 D9解析：由柯西不等式得()2()2()2(121212)()2，所以()2313.当且仅当abc时等号成立所以的最大值为.故选B.答案：B5已知aaa1，xxx1，则a1x1a2x2anxn的最大值为()A1 B2C1 D不确定解析：因为(a1x1a2x2anxn)2(aaa)(xxx)111，当且仅当aikxi(i1，2，n)时等号成立所以a1x1a2x2anxn的最大值是1.答案：A二、填空题6(2015重庆卷)设a，b0，ab5，则的最大值为_解析：因为a，b0，ab5，所以(a1)(b3)9.令xa1，yb3，则xy9(x1，y3)，于是，而()2xy2xy(xy)18，所以3
3、.此时xy，即a1b3，结合ab5可得a3.5，b1.5，故当a3.5，b1.5时，的最大值为3.答案：37已知x，y，zR，且xyz1，则x2y2z2的最小值为_解析：根据柯西不等式，x2y2z2(121212)(x2y2z2)(1x1y1z)2(xyz)2，当且仅当xyz时等号成立答案：8已知a，b，c0，且abc1，则的最大值为_解析：由柯西不等式得()2(111)2(121212)(4a14b14c1)34(abc)321，当且仅当abc时，取等号故的最大值为.答案：三、解答题9若a，b，cR，且满足abc2.(1)求abc的最大值；(2)证明：.(1)解：因为a，b，cR，所以2ab
4、c3，故abc.当且仅当abc时等号成立，所以abc的最大值为.(2)证明：因为a，b，cR，且abc2，所以根据柯西不等式，可得(abc)()2()2()2.所以.10已知xy1，求2x23y2的最小值解：由柯西不等式(2x23y2)(xy)21，所以2x23y2，当且仅当2x3y，即x，y时，等号成立所以2x23y2的最小值为.B级能力提升1已知2x3y4z10，则x2y2z2取到最小值时的x，y，z的值为()A.， B.，C1， D1，解析：当且仅当时，取到最小值，所以联立可得x，y，z.答案：B2已知2x2y2z2F216，则F8xyz的最大值为_解析：当且仅当时，取到最小值，所以联立可得x，y，z.答案：B3已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1，1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.(1)解：因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1，1，故m1.(2)证明：由知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.- 4 -
