1、第二章测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.已知曲线 C:mx2+y2=1,则“曲线 C 是双曲线”是“m0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:“mx2+y2=1 是双曲线”充分必要条件为 m10,即 m0,2m+10 且 2m+13m,得 0m1,故选 B.答案:B4.已知一个动圆 P 与圆 O:x2+y2=1 外切,而与圆 C:x2+y2-6x+8=0 内切,则动圆圆心 P 的轨迹是()A.双曲线的一支 B.椭圆C.抛物线D.圆解析:设动圆半径为 R,依题意有|P
2、O|=R+1,|PC|=R-1,因此|PO|-|PC|=2,而|OC|=3,由双曲线定义知点 P的轨迹为双曲线的右支.答案:A5.(2016 四川眉山检测)与曲线 =1 共焦点,且与曲线 =1 共渐近线的双曲线方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:由题意得,曲线 =1 是焦点在 y 轴上的椭圆,且 c=-=5,所以双曲线焦点的坐标是(0,5),(0,-5),因为双曲线与曲线 =1 共渐近线,所以设双曲线方程为 =(b0)上任意一点到直线 l1:x=-和 l2:x=的距离分别为d1和 d2,椭圆的焦距为 2c,若 d1,2c,d2成等差数列,则椭圆的离心率为()A.1B.C.D.解析:
3、由已知,得 d1+d2=|-(-)|.由 d1,2c,d2成等差数列,得 d1+d2=4c,=4c,得 a=c,离心率 e=,故选 C.答案:C7.过抛物线 y=2x2的焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 x1x2=()A.-2B.-C.-4D.-解析:由 y=2x2,得 x2=y,其焦点坐标为 F().取直线 y=,则其与抛物线 y=2x2交于(-)()两点,所以 x1x2=-.故选 D.答案:D8.设 A,P 是椭圆 +y2=1 上的两点,点 A 关于 x 轴的对称点为点 B(异于点 P),若直线 AP,BP 分别交 x轴于点 M,点 N,则 的值等于()A
4、.0B.1C.D.2解析:不妨设点 P 是椭圆的右顶点,即 P(,0),因为 A,B 两点关于 x 轴对称,所以直线 AP,BP 与 x 轴的交点都是点 P,即 M,N,P 三点重合,则 =(,0)(,0)=2.答案:D9.(2016 吉林长春高二检测)已知直线 3x-y+6=0 经过椭圆 =1(ab0)的左焦点 F1,且与椭圆在第二象限的交点为 M,与 y 轴的交点为 N,F2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF2|,则椭圆的方程为()A.=1B.+y2=1C.+y2=1D.=1解析:直线 3x-y+6=0 与 x 轴、y 轴分别交于点(-2,0),(0,6),因此 F1(-2,0),N(0,
5、6),于是 c=2,又因为2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF1|=|NF1|=2 ,于是 a=,从而 b2=10-4=6,故椭圆方程为 =1.答案:D10.已知点 A(3,0),点 P 在抛物线 y2=4x 上,过点 P 的直线与直线 x=-1 垂直相交于点 B,|PB|=|PA|,则cosAPB 的值为()A.B.C.-D.-解析:由题可知,抛物线的焦点 F(1,0),由于过抛物线 y2=4x 上一点 P 的直线与抛物线的准线 x=-1 垂直相交于点 B,可得|PB|=|PF|,又|PB|=|PA|,故|PA|=|PF|,所以点 P 的坐标为(2,2),点 B 的坐标为(-1,2
6、),可得|AB|=2,由余弦定理得 cosAPB=-=-.答案:D11.过椭圆 =1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被点 M 平分,则这条弦所在直线的斜率等于()A.-2B.C.-D.2解析:设所求直线的斜率为 k,则其方程为 y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2是方程的两根,于是 x1+x2=-.又 M 为 AB 的中点,所以 -=2,解得 k=-.答案:C12.(2016 福建厦门高二检测)设 A1,A2分别为双曲线 C:=1(a0,b0)
7、的左右顶点,若双曲线上存在点 M 使得两直线斜率 2,则双曲线 C 的离心率的取值范围为()A.(1,)B.(1,)C.(,+)D.(1,2)解析:假设 M(x,y),A1(-a,0),A2(a,0),则 -,则 -,又点 M 在双曲线上,有 =1y2=b2(-),代入 -中可得 -2 -=e2-121e0,b0)截抛物线 y2=8x 的准线所得线段的长度为 2b,则 a 等于 .解析:抛物线 y2=8x 的准线为 x=-2,代入双曲线 =1 可得 y=b -,由题意可得,2b=2b -,解得 a=.答案:14.已知圆 M:x2+y2+2mx-3=0(m0)的半径为 2,椭圆 C:=1 的左焦
8、点为 F(-c,0),若垂直于 x 轴且经过点 F 的直线 l 与圆 M 相切,则 a 的值等于 .解析:圆 M 的方程可化为(x+m)2+y2=3+m2,由题意得 m2+3=4,即 m2=1(m0)的离心率为 2,则 C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为 .解析:因为双曲线的离心率是 2,所以 e2=4,得 b=6,则双曲线方程为 =1,渐近线方程为y=x,即 x y=0,则 C 上任意一点 P(x,y)到两条渐近线的距离之积为 d1d2=-.答案:16.导学号 59254035(2016 四川成都高二检测)已知 P 为抛物线 y=x2上的动点,点 P 在x 轴上的射影为 M,点 A 的坐
9、标是(2,0),则|PA|+|PM|的最小值是 .解析:抛物线方程可化为 x2=4y,焦点为 F(0,1),准线为 l:y=-1.延长 PM 交准线于 N,连接 PF,由抛物线定义,得|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1,由于PAF 中,|PA|+|PF|AF|,所以当且仅当 P,A,F 三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值.又因为|AF|=,故|PA|+|PM|的最小值为-1.答案:-1三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)(2016 福建福州一中模考)已知双曲线 C:=1(a0,b0)的两个焦点为 F1(-2,
10、0),F2(2,0),点 P(3,)在双曲线 C 上.(1)求双曲线 C 的方程;(2)记 O 为坐标原点,过点 Q(0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E,F,若OEF 的面积为 2,求直线 l 的方程.解:(1)由已知 c=2 及点 P(3,)在双曲线 C 上,得 -解得 a2=2,b2=2,双曲线 C 的方程为 =1.(2)由题意,知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+2,由 -得(1-k2)x2-4kx-6=0.(*)设 E(x1,y1),F(x2,y2),则 x1,x2是方程(*)的两个不等实根,1-k20 且=16k2+24(1-k2)0,即 k2
11、0),则 =2,所以轨迹 M 的方程为 y2=8x.(2)轨迹 M 的焦点(2,0),直线 l 的斜率 k=tan 135=-1,于是其方程为 y=-(x-2).由 -消去 y 得 x2-12x+4=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=12,于是|AB|=x1+x2+p=12+4=16.19.(本小题满分 12 分)(2016 河北石家庄高二检测)已知椭圆 C:=1(ab0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设直线 l:y=x+与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,求AOB 的面积.解:(1)由题意可得:,a=,a2=
12、b2+c2,联立解得 c=,b=1.所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).联立 化为 4x2-6 x+3=0,因此 x1+x2=,x1x2=.所以|AB|=-=(-).原点 O 到直线 AB 的距离 d=1,故 SAOB=d|AB|=1 .20.导学号 59254036(本小题满分 12 分)(2016 浙江宁波高二检测)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点 F 恰好是双曲线 12x2-4y2=3 的一个焦点,O 是坐标原点.(1)求抛物线方程;(2)经过焦点 F 作直线 l,与抛物线相交于 A,B 两点,|=5,若 =m ,且点 D 在抛物线上,求
13、实数 m 的值.解:(1)双曲线方程 12x2-4y2=3 可化为 =1,因此 c2=1,c=1,因此双曲线的一个焦点是(1,0),于是抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F(1,0).则 =1,2p=4,故抛物线标准方程为 y2=4x.(2)依题意,直线 l 的斜率一定存在,设其为 k,则 l 的方程为 y=k(x-1).由 -可得 y2-y-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=,x1+x2=+2.因为|=|FA|+|FB|=x1+x2+2=+4=5,所以 k2=4,即 k=2.设 D(x0,y0),则由 =m ,得 x0=(x1+x2)=,y0=(y1+y2)
14、=,由于点 D 在抛物线上,因此 ,可得 m=.21.(本小题满分 12 分)已知直线 l:ax-y-1=0 与双曲线 C:x2-2y2=1 相交于 P,Q 两点.(1)当实数 a 为何值时,|PQ|=2 ;(2)是否存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.解:(1)设 P,Q 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则(x1,y1),(x2,y2)是方程组 -的实数解,消去 y,得(1-2a2)x2+4ax-3=0.当 1-2a2=0 时,直线与双曲线只有一个交点,不合题意.当 1-2a20 时,即 a 时,由 0,得-ab0)过点
15、 A(2,0),离心率为 .(1)求椭圆 C 的方程;(2)过点 B(1,0)且斜率为 k(k0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 E,F 两点,直线 AE,AF 分别交直线 x=3 于M,N 两点,线段 MN 的中点为 P.记直线 PB 的斜率为 k,求证:kk为定值.解:(1)由题意得,解之得 a=2,b=1,所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.(2)设直线 l 的方程为 y=k(x-1).代入椭圆方程 +y2=1,得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由韦达定理得:x1+x2=,x1x2=-,直线 AE,AF 的方程分别为 y=-(x-2),y=-(x-2),令 x=3,得 M(-),N(-),所以 P(-),kk=k (-)-=-=-=-=-=-.
