1、高二数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)专题强化训练三：向量与立几25道必刷解答题1如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，侧面为等边三角形（1）求证：；（2）若的大小为，求的正弦值2如图，已知四棱锥的底面是菱形，交于，平面，为的中点，点在上，（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值3如图，四边形是直角梯形，平面，为的中点（1）求证：直线平面；（2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值4如图，在四棱柱中，侧棱底面，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求点到平面的距离；（4）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.
2、5如图，在四棱锥中，底面，四边形中，.（1）求证：平面平面；（2）设，若直线与平面所成角大小为30，求线段的长.6如图1，在等腰中，D，E分别为，的中点，F为的中点，G在线段上，且.，将沿折起，使点A到的位置（如图2所示），且.（1）证明：平面；（2）求平面平面所成锐二面角的余弦值.7如图，在梯形中，四边形为矩形，平面平面，.（1）求证：平面，平面；（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.8如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，.（1）求与平面所成角的正弦；（2）求点到面PBC的距离.9在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，为的中点，为的中点，.（
3、1）求证：平面.（2）求平面与平面所成锐角的余弦值.10如图所示，在等腰梯形中，平面，（1）求证：平面；（2）若为线段上一点，且，是否存在实数，使平面与平面所成锐二面角为？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由11如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，是中点.（1）求直线与平面的夹角余弦值；（2）求平面和平面的夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离.12如图1，在边长为4的菱形ABCD中，BAD60，DEAB于点E，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1DDC，如图2.（1）求证：A1E平面BCDE；（2）求二面角EA1BC的余弦值.13如图，四棱锥中，底面是梯形，是等边三角形，是棱的中点，.
4、（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.14如图，在多面体中四边形是正方形，平面，平面，（1）证明：平面平面（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值15如图所示，在四棱锥中，平面，为的中点（1）求证平面；（2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由16如图1，在平面四边形ABCD中，BCAC，CDAD，DAC=CAB=，AB=4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且MEAB.沿着AC将ACD折起来，使得平面ACD平面ABC，如图2.（1）求证BCAD；（2）求二面角A-DM-E的余弦值.17如图，在底面为矩形的四棱锥中，为棱上
5、一点，底面（1）证明：；（2）若，求二面角的大小18如图在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，E为中点，平面平面.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.19如图，在四棱锥中，平面平面，底面四边形为直角梯形，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，.（1）求证：；（2）若为棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值.20如图，在直角梯形中，的是的中点，是与的交点将沿折起到的位置，如图（1）证明：平面；（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值21如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值22如图，已知三
6、棱柱，平面平面,，分别是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.23如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E为PD的中点，点F在PC上，且（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由24（2017新课标全国理科）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.25如图，
7、三棱柱中，侧面，已知，点是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 11原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司参考答案1（1）取的中点，连接，如图，因为正三角形，则，又底面是菱形，且，则是正三角形，于是得，而，平面，则平面，又平面，所以；（2）由(1)知的平面角为，即，显然平面平面，在平面内过作，平面平面，则平面，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，设的大小为，从而得，所
8、以的正弦值为.2（1）设交于，连结，因为，分别是，的中点，则G为的重心，所以，易知O为AC的中点 ，所以又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面（2）如图，以为原点，OA，OB，OP分别为，轴，建立空间直角坐标系设在菱形中，因为，所以是等边三角形，故又因为，平面，所以所以，所以，设平面（即平面）的一个法向量为，由，取，则.设平面PAB（即平面FAB）的一个法向量为，由，取a=1，则.所以由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为3（1）取的中点，连接，又是的中点，.，且，四边形是平行四边形，平面，平面，平面.（2）ABDC，ABAD，ADC=90，由AB=AD=1，则，且ADB=45，
9、BDC=45，DC=2，则在中，由余弦定理：，BDBC.又底面，设，则，解得，E为PC的中点，.以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，.设平面的一个法向量为，则，令y=1，则.设平面的一个法向量为，则，令b=1，则.，二面角的平面角的正弦值为.4【详解】（1）证明：以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，因为，分别为，的中点，则，由题意可知，是平面的一个法向量，又，所以，又平面，故平面；（2）解：由（1）可知，设平面的法向量为，则，令，则，故，设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，故二面角的正弦值为；（3）解：因为，设平面的法向量为，则，令，则，故，所以，设点到平面的
10、距离为，则，所以点到平面的距离为；（4）解：由题意，设，其中，则，所以，又时平面的一个法向量，因为直线和平面所成角的正弦值为，则，整理可得，又，解得或（舍），故线段的长为.5（1）证明：底面，平面，又，且，平面，又平面，所以平面平面；（2）如图以为原点，以，所在直线为轴建立空间坐标系，在底面内，作交于E，则，在直角中，设，则，由，则，则， 所以， 设平面的法向量为，得，取，则故由直线与平面所成角大小为30，则有，即，化简得：，解得：或（舍去，因为），即. 6解：（1）证明：取的中点M，连接，G为的中点，又F为的中点，所以，由，平行四边形，所以，又平面，如图，所以平面；（2）根据题意，以F为原点
11、，直线为x轴，过F平行于的直线为y轴，直线为z轴，建立如图空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，由，得，故，设平面的法向量，由，得，故，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.7解：（1）证明，在梯形中，.平面平面，平面平面，平面，又，平面.又四边形是矩形，平面，平面.（2）由（1）可建立直线，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则，.设为平面的法向量，由，得，取，则.是平面的一个法向量，.，当时，有最大值，的最小值为.8（1）因为底面是矩形，平面，所以以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：，设平面的法向量，则，令，即，设与平面所成角为，则（2），设平面的法向量，则，令，即，设
12、点到面PBC的距离为，则9（1）连接，.在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，是边长为2的等边三角形，又是等边三角形，是等腰三角形.为的中点，又，由勾股定理得，又由，都是边长为2的等边三角形，可知，由为等边三角形，为的中点，可知.又，平面，平面.平面.（2）以为坐标原点，分别以，所在直线为、轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，即，令，则，.设平面的法向量为，则，即.令，则，.设平面与平面所成锐角为，则，平面与平面所成锐角的余弦值为.10（1）因为，所以四边形ACFE为平行四边形，所以在等腰梯形ABCD中，所以，所以又平面ABCD，所以BC，平面BCF，所以平面BCF因为，所以平面
13、BCF；依题意，以C为坐标原点，分别以直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以，设所以 设为平面MAB的法向量，由得取，所以因为是平面ABC的一个法向量，设平面MAB与平面ABC所成的锐二面角为，所以因为，所以，所以所以存在使平面MAB与平面ABC所成锐二面角为11因为平面，且四边形是矩形，所以两两垂直，所以分别以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系：（1），所以，设平面的法向量为，由可得，取则，所以，记直线和平面的夹角为.则，所以，（2）由图可知，平面即平面.所以平面的法向量为记面和面的夹角为.则由图可知面和面夹角为锐角所以；（3），平面的法向量为设点到平面的距离为，则，
14、所以点到平面的距离为.12解:（1）证明:在菱形ABCD中，BAD60，DEAB于点E，. 又，平面，. 又，平面. （2）平面，以，所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系（如图）.易知，则，易知平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，由，得，令，得，.由图得二面角为钝二面角，二面角的余弦值为. 13（1）证明：因为，所以四边形是平行四边形，所以.在等边中，是中点，所以.在中，所以，所以.又因为，所以平面.（2）解法一：因为平面，所以三棱锥的体积为.设点到平面的距离为，又，所以三棱锥的体积为.由，得，所以.设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.解法二：因为平面，所以
15、，以为原点，分别以射线，为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的一个法向量为.由得取，得.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.14（1）证明：因为平面，平面，所以因为平面，平面，所以平面因为四边形是正方形，所以因为平面，平面，所以平面因为平面，平面，且，所以平面平面（2）解：由题意可知，两两垂直，则以D为原点，分别以，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设，则，从而，设平面的法向量为，则，令，得平面的一个法向量为故，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为15（1）因为平面，所以，又，所以平面，又，所以面，面，又，为的中点，所以，而，所
16、以平面（2）以A为坐标原点，所在方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则，所以，设（），所以，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，由（1）可知为平面的一个法向量，若平面平面，则，即，解得即时平面平面.16（1）平面ACD平面ABC.平面ACD平面ABC=AC，BCAC，BC平面ACD，AD平面ACD，BCAD.（2）根据题意，以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立如图的空间直角坐标系，BCAC，CDAD，DAC=CAB=，AB=4，BC=2，AC=，CD=，CM=AC-AM=.，设平面MDE的法向量为，则，即，令，得y=3，z=-1，由（1）知，平面MAD的一
17、个法向量为=（0，2，0），.二面角A-DM-E的余弦值为.17（1）因为四边形为矩形，则，平面，平面，则，平面，平面，因此，；（2）平面，不妨以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：、，设平面的法向量为，由，取，可得，设平面的法向量为，由，取，可得，所以，由图可知，二面角的平面角为钝角，因此，二面角的大小为.18（1）连接交于点O，连接、，因为为等边三角形，所以，因为底面为正方形，所以，因为，所以平面，又平面，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为E为中点，所以，则平面.（2）如图，以分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设，则，所以，则，因为平面
18、平面，且平面平面=BD，,所以面EBD,所以平面的法向量为，设平面的法向量为，则，所以，不妨设x=1，所以，所以，显然二面角的平面角为锐角或直角，所以二面角的余弦值为.19（1），为的中点，且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面，平面，平面平面，.（2），平面平面，平面平面，平面，平面，分别以，所在的直线为，轴，建立直角坐标系，如图所示，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，直线与平面所成角的正弦值.20（1）在题图中，因为，是的中点，所以，即在题图中，又，所以平面又，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面（2）由已知，平面平面，又由（1）知，所以为二面角的平面角，所以如图，以为原点，分别以
19、，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系因为，所以，则，设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，平面与平面的夹角为则即可取；即可取从而，即平面与平面夹角的余弦值为21（1）由题设，知为等边三角形，设，则，所以，又为等边三角形，则，所以，则，所以，同理，又，所以平面；（2）过O作BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，得，令，得，所以，设平面的一个法向量为由，得，令，得，所以故，设二面角的大小为，则.22(1)如图所示，连结，等边中，则，平面ABC平面，且平面ABC平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，由
20、三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，结合平面，故.(2)在底面ABC内作EHAC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，,，据此可得：，由可得点的坐标为，利用中点坐标公式可得：，由于，故直线EF的方向向量为：设平面的法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，此时，设直线EF与平面所成角为，则.23()由于PA平面ABCD，CD平面ABCD，则PACD，由题意可知ADCD，且PAAD=A，由线面垂直的判定定理可得CD平面PAD.()以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图
21、所示的空间直角坐标系，易知：，由可得点F的坐标为，由可得，设平面AEF的法向量为：，则，据此可得平面AEF的一个法向量为：，很明显平面AEP的一个法向量为，二面角F-AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.()易知，由可得，则，注意到平面AEF的一个法向量为：，其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.24（1）由题设可得，从而.又是直角三角形，所以.取AC的中点O，连接DO,BO,则DOAC,DO=AO.又由于是正三角形，故.所以为二面角的平面角.在中，.又，所以，故.所以平面ACD平面ABC.（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长
22、，建立如图所示的空间直角坐标系.则.由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.故.设是平面DAE的法向量，则即 可取.设是平面AEC的法向量，则同理可取.则.所以二面角D-AE-C的余弦值为.25（1）由题意，因为，又，侧面，.又，平面直线平面.（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有，设平面的一个法向量为，令，则，设平面的一个法向量为，令，则，.设二面角为，则.设二面角的余弦值为.（3）假设存在点，设，设平面的一个法向量为，得.即，或，或.43原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
