1、广东省各市2015年高考一模数学理试题分类汇编立体几何一、选择题1、（2015届广州市）已知某锥体的正视图和侧视图如图2， 其体积为，则该锥体的俯视图可以是 2、（2015届江门市）一个四面体如图1，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则它的体积A B C D3、（2015届揭阳市）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是A.若；B.若；C.若；D. 若；4、（2015届梅州市）若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于A、30B、12C、24D、45、（2015届汕头市）设，为平面，为直线，则的一个充分条件是（
2、）A， B，C， D，6、（2015届湛江市）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D7、（2015届中山市）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （A）若且，则（B）若且，则（C）若且，则（D）若且，则 8、（2015届佛山市）已知异面直线均与平面相交,下列命题:存在直线,使得或；存在直线,使得且；存在直线,使得与和所成的角相等. 其中不正确的命题个数为( )A B C D选择题参考答案1、C2、C3、C4、C5、D6、A7、B8、B二、填空题1、（2015届茂名市）一个几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面
3、为填空题参考答案1、三、解答题1、（2015届广州市）如图4，在边长为的菱形中，点，分别是边，的中点，沿将翻折到，连接，得到如图5的五棱锥，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值. 2、（2015届江门市）如图4，直四棱柱的底面是菱形，侧面是正方形，是棱的延长线上一点，经过点、的平面交棱于点，图4求证：平面平面；求二面角的平面角的余弦值3、（2015届揭阳市）如图4，已知中，平面，、分别是、的中点（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥B-CDFE的体积V；（3）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值4、（2015届茂名市）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，ADDC，DB平分ADC
4、，E为PC的中点，ADCD1，DB2，PD2。（1）证明：PA平面BDE；（2）证明：ACPB；（3）求二面角EBDC的余弦值；5、（2015届梅州市）如图，ABC是等腰直角三角形，ACB90，AC2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将ADE折起，得到如图所示的四棱锥，F是的中点。（1）求证：EF平面；（2）当四棱锥的体积取最大值时，求平面与平面夹角的余弦值。6、（2015届汕头市）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形求证：平面；设为直线与平面所成的角，求的值；设为中点，在边上求一点，使平面，求的值7、（2015届深圳市）在三
5、棱锥中，已知平面平面，是底面最长的边三棱锥的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥的直观图补充完整（其中点 在平面内），并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；（2）求二面角的正切值；侧视图正视图图5俯视图z图6OPyx（3）求点到面的距离8、（2015届湛江市）如图，在三棱锥中，和均是边长为的等边三角形，分别是，的中点若是内部或边界上的动点，且满足平面，证明：点在线段上；求二面角的余弦值（参考定理：若平面平面，平面，直线，且平面，则直线平面）9、（2015届中山市）如图所示，平面，PABCDM（第20题图）为等边三角形，为中点（I）证明：平面；（
6、II）若与平面所成角的正切值 为，求二面角-的正切值10、（2015届佛山市）PABCDM图6如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且().() 求证:为直角三角形；() 试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为.解答题参考答案1、（1）证明：点，分别是边，的中点， . 1分 菱形的对角线互相垂直， . . ，. 2分 平面，平面， 平面. 3分 平面. 4分（2）解法1：设，连接， ， 为等边三角形. ，. 5分 在R t中， 在中， . 6分 ，平面，平面， 平面. 7分 过作，垂足为，连接， 由（1）知平面，且平面， . ，平面，平面， 平面. 8
7、分 平面， . 9分 为二面角的平面角. 10分 在Rt中， 在Rt和Rt中， RtRt. 11分 . . 12分 在Rt中， . 13分 二面角的正切值为. 14分解法2：设，连接， ， 为等边三角形. ，.5分 在R t中， 在中， . 6分 ，平面，平面， 平面. 7分 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 则，.8分 ，. 设平面的法向量为， 由，得 9分 令，得，. 平面的一个法向量为. 10分 由（1）知平面的一个法向量为， 11分 设二面角的平面角为， 则.12分 ，.13分 二面角的正切值为. 14分2、设四棱柱的棱长为，1分由，得，2分，
8、3分是直四棱柱，又，平面4分平面，平面平面5分（方法一）过作于，于，连接6分由平面平面，平面平面，平面7分，又，平面，是二面角的平面角9分在中，在中，（、求得任何一个给2分，两个全对给3分）12分，13分（方法二）以为原点，、所在直线为轴、轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系6分，则，7分设平面的一个法向量为，则9分，即，不妨取10分，由知，11分，平面的一个法向量为12分，二面角的平面角的余弦值13分3、（1）证明：AB平面BCD，平面 ，-1分又， ， 平面，-2分又E、F分别是AC、AD的中点，-3分EF平面ABC又平面BEF，平面BEF平面ABC-4分（2）解法1：由（1）知EFCD
9、-5分 -6分-8分（3）解法1：以点C为坐标原点，CB与CD所在的直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系如图示，-9分则,-10分设平面BEF的一个法向量为，由得令得，-12分是平面BCD的法向量，设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角大小为，则, 所求二面角的余弦值为-14分4、5、（1）证明：取中点，连接.则由中位线定理可得，1分同理，所以，从而四边形是平行四边形， 3分 所以又面，平面，所以平面 5分 （2）在平面内作于点.平面.又，故底面，即就是四棱锥的高 7分由知，点和重合时，四棱锥的体积取最大值 8分分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 9分设平面的法向量为，由,
10、得，可取 11分平面的一个法向量 12分故， 13分所以平面与平面夹角的余弦值为 14分 (连,可以证明即为所求二面角的平面角,易求.参照法一给分)6、解：（1）证明该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两垂直。 且 , （3分）以BA，BB1 ，BC分别为轴建立空间直角坐标系，如图则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4）=（4,4,0）（-4,4,0）=-16+16=0=（4,4,0）（0,0,4）=0 BNNB1，BNB1C1且NB1与B1C1相交于B1，BN平面C1B1N； -（5分）（2）设为平面的一个法向量，则 则
11、-（9分） （3）M（2,0,0）设P(0,0,a)为BC上一点,则, MP/平面CNB1, 又,当PB=1时MP/平面CNB1 -（14分）7、解：（1）三棱锥直观图如图1所示；由三视图知和是直角三角形 3分Az图1O(B)PyCx（2）（法一）：如图2，过作交于点，由三视图知为等腰三角形， ，取的中点，过作且交于点，连接，EFHAz图2O(B)PyCx因为，由三视图知面，且面，所以，又由，所以面，由面，所以，所以面，由面，所以，所以是二面角的平面角6分， 8分在直角中，有所以，二面角的正切值为 9分（法二）：如图3，过作交于点，由三视图知为等腰三角形，HAz图3O(B)PyCx，由图3所示
12、的坐标系，及三视图中的数据得：，则， ,设平面、平面的法向量分别为、设，由，得，令， 得，即 6分设，由，得，令， 得，即 7分，8分而二面角的大小为锐角，所以二面角的正切值为9分（3） （法一）：记到面的距离为，由（1）、（2）知， ， 12分三棱锥的体积， 13分由，可得： 14分（法二）：由（2）知，平面的法向量，记到面的距离为， 14分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，三视图及几何体的直观图，二面角，三棱锥的体积，空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力8、9、解：（）证明：因为M为等边ABC的AC边的中点，所以BMAC
13、依题意CDAC，且A、B、C、D四点共面，所以BMCD 3分又因为BM平面PCD，CD平面PCD，所以BM平面PCD 5分PABCDM（第18题图）FE（）因为CDAC，CDPA，所以CD平面PAC，故PD与平面 PAC所成的角即为CPD7分 不妨设PA=AB=1，则PC= 由于， 所以CD=9分 （方法一）在等腰RtPAC中，过点M作MEPC于点E，再在RtPCD中作EFPD于点F因为MEPC，MECD，所以ME平面PCD，可得MEPD又EFPD，所以EFM即为二面角C-PD-M的平面角 12分 易知PE=3EC，ME=，EF=， PABCDM（第18题图）xyz 所以tanEFM=， 即二
14、面角C-PD-M的正切值是15分 （方法二）以A点为坐标原点，AC为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz则P（0,0,1），M（），C（1,0,0），D则，若设和分别是平面PCD和平面PMD的法向量，则，可取由，可取 12分 所以，故二面角C-PD-M的余弦值是，其正切值是 15分10、【解析】()取中点,连结,依题意可知,均为正三角形, 所以,又,平面,平面,所以平面,又平面,所以,PABCDMOxyz 因为,所以,即,从而为直角三角形.5分 说明:利用平面证明正确,同样满分! ()由()可知,又平面平面,平面平面, 平面,所以平面.6分 以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则 , 7分由可得点的坐标为,9分所以,设平面的法向量为,则,即解得,令,得,11分显然平面的一个法向量为,12分依题意,解得或(舍去),所以,当时,二面角的余弦值为.14分由()可知平面,所以, 所以为二面角的平面角,PABCDMO即,8分 在中, 所以,10分 由正弦定理可得,即,解得,12分 又,所以, 所以,当时,二面角的余弦值为.14分
