1、2013年济宁市高三模拟考试数学(理工类)试题 2013.03 本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分l50分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回注意事项： 1答第I卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上 2选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用05毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B独立，那么P(AB)=P(A)P(B)第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共l2小题每小题5分。共60分在每
2、小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的1复数，则复数在复平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D【KS5U解析】，所以，对应点位，选D.2已知全集U=R，集合A=，集合B=，则如图所示的阴影部分表示的集合是 A B C D【答案】A【KS5U解析】，图中阴影部分为集合,所以,所以，选A.3下列命题中正确的有设有一个回归方程=23x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；命题P：“”的否定P：“”；设随机变量X服从正态分布N(0，1)，若P(X1)=p，则P(-1X0,b0)的左焦点F(-c,0)作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为原
3、点，若，则双曲线的离心率为 A B C D【答案】A 【KS5U解析】因为，所以是的中点。设右焦点为,则也是抛物线的焦点。连接,则，且,所以，设，则，则过点F作轴的垂线，点P到该垂线的距离为，由勾股定理得，即，解得，选A. 第卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题每小题4分共16分13、如图，长方形的四个顶点为O(0，0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)，曲线经过点B现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是 【答案】【KS5U解析】因为B(2,4)在曲线上，所以，解得，所以曲线方程为，因为，所以阴影部分的面积为，所以质点落在图中阴影区域的概率是。1
4、4的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中常数项为 【答案】10【KS5U解析】因为展开式中各项系数的和为243，所以当时，解得，展开式的通项公式为，由，解得，所以常数项为。15对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式： 22=1+3 32=1+3+5 42=1+3+5+7 23=3+5 33=7+9+11 24=7+9此规律，54的分解式中的第三个数为 【答案】125【KS5U解析】由题意可知，所以54的分解式中的第三个数为。16函数的定义域为D，若存在闭区间a，bD，使得函数满足：(1) 在a，b内是单调函数；(2)在a，b上的值域为2a，2b，则称区间a，b为y=的“和谐区间”
5、下列函数中存在“和谐区间”的是 (只需填符合题意的函数序号) ； ；。【答案】【KS5U解析】若，则由题意知，即，解得时，满足条件。若，则由题意知，即，即是方程的两个根，由图象可知方程无解时，所以不满足条件。若，则由题意知，即，所以只要即可，所以满足条件。若，因为，则由题意知当时，函数递增，当时，函数递减。当时由得，由，解得或，所以当时，满足条件，即区间为。所以存在“和谐区间”的是。三、解答题：本大题共6小题。共74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17(本小题满分12分)在ABC中，已知A=， (I)求cosC的值； ()若BC=2，D为AB的中点，求CD的长18(本小题满分l2分)
6、中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为、。指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响 (I)求该项技术量化得分不低于8分的概率； (II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望19(本小题满分12分)如图1，的直径AB=4，点C、D为上两点，且CA
7、B=45，DAB=60，F为弧BC的中点沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直，如图2。(I)求证：OF平面ACD；()求二面角CADB的余弦值；()在弧BD上是否存在点G，使得FG平面ACD?若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由20(本小题满分12分)已知数列的前n项和，数列满足= (I)求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； ()设，数列的前n项和为Tn，求满足的n的最大值。21(本小题满分13分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4. (I)求椭圆C的标准方程； (II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线
8、AB的斜率为。 求四边形APBQ面积的最大值； 设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断+的值是否为常数，并说明理由22(本小题满分l3分)已知函数 (I)若a=-1，求函数的单调区间； ()若函数的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45o，对于任意的t 1，2，函数是的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围； ()求证：2013年济宁市高三模拟考试数学（理工类）试题参考答案及评分标准一 、选择题：每小题5分，共60分.15 DACCB 610 DDDAB 1112 CA 13. 14. 10 15. 125 16. 三、解答题：共74分.17解：（）且， 2分 4分
9、 6分（）由（）可得 8分由正弦定理得，即，解得 10分在中，所以18.解：（）该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件、，则事件“得分不低于8分”表示为+. 与为互斥事件，且、为彼此独立+=（）+（） =（）（）（）+（）（）（=. 4分（）该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数的取值为0,1,2,3.=（）=,=（+）=+=, 6分=（+）=+=,=（）=, 8分随机变量的分布列为0123 =+=. 12分19.（方法一）：证明：（）如右图，连接， ，. 1分 又为弧的中点，. 平面，平面，平面 解：（）过作于，连，平面平面 平面又平面， ， 平面，则是二面角的平面
10、角， . 由平面，平面，得为直角三角形，= 8分（）取弧的中点，连结、，则平面，平面平面/平面. 因此，在弧上存在点，使得/平面，且点为弧的中点12分（方法二）：证明：（）如图，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以为原点，建立空间直角坐标系则 1分，点为弧的中点，点的坐标为，解：（），点的坐标，设二面角的大小为，为平面的一个法向量由 有 即取，解得， = 5分取平面的一个法向量=， 6分 8分（）设在弧上存在点,由（）知平面的一个法向量为= 9分又因为 由两式联立解得，11分，因为，所以,则为弧的中点，因此，在弧上存在点，使得/平面，且点为弧的中点 12分20. 解：（）在中，令n=1，可得
11、，即. 当时， ，即.，即当时，. 又，数列bn是首项和公差均为1的等差数列.于是，. 6分（）, 8分=. 10分由，得，即，单调递减，的最大值为4. 12分21.解：（）设椭圆C的方程为 . 1分 由已知b= 离心率 ,得 所以，椭圆C的方程为. 4分（）由（）可求得点P、Q的坐标为 ，则， 5分设AB(),直线AB的方程为，代人得：.由0,解得，由根与系数的关系得 7分四边形APBQ的面积故当 由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率则 10分=，由知可得所以的值为常数0. 13分22.解：（）当时， 解得；解得的单调增区间为，减区间为 . 4分（） 得， ， 在区间上总不是单调函数，且 7分由题意知：对于任意的，恒成立，所以，. （）证明如下： 由（）可知当时，即，对一切成立10分，则有，. 11分. 13分
