1、2013年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2013太原一模）复数的共轭复数为（）ABCD考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数 为+i，由此求得它的共轭复数解答：解：复数=+i，故它的共轭复数为i，故选C点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）（2013太原一模）已知集合A=y|y=log2x，x1，B=y|y=，x1则AB=（）A0.1）B0，1C（0，1）D（0，1考
2、点：对数函数的值域与最值；交集及其运算专题：函数的性质及应用分析：先化简集合A、B，再求AB解答：解：A=y|y0，B=y|0y1，所以AB=y|y0=y|0y1=（0，1），故选C点评：本题考查对数函数的值域、集合间的运算，属基础题，关键是对集合进行准确化简，正确理解集合的交集运算3（5分）（2013太原一模）下列说法正确的是（）A若命题 p与q都是真命题，则命题“pp”为真命题B命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy0，则x0或y0”C命题“xR，2x0”的否定是“x0R，2xo0”D“x=1”是“x25x一6=0”的必要不充分条件考点：全称命题；命题的否定专题：计算题分析
3、：根据复合命题的真值表，可得A选项正确；根据原命题与否命题的转换关系，可知B选项不正确；根据含有量词的命题否定的规律，得到C选项是正确的；对于D，根据充要条件的判断方法，可得D选项也不正确解答：解：对于A，若命题p与q都是真命题，则命题“pp”为假命题，故A项正确；对于B，命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy0，则x0且y0”，故B项不正确；对于C，命题“xR，p（x）”的否定是：“xR，非p（x）”因此命题“xR，2x0”的否定是“x0R，2xo0”，故C项不正确；对于D，当“x=1”时，有“x25x一6=0”，故“x=1”是“x25x一6=0”的充分条件，故D项不正确故选
4、A点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了四种命题及其相互关系和含有量词的命题的否定等知识点，属于基础题4（5分）（2013太原一模）下列函数中，在（0，1）上单调递减的是（）Ay=By=（x+1）2Cy=xDy=2x+1考点：函数单调性的判断与证明专题：函数的性质及应用分析：利用基本函数的单调性逐项判断即可解答：解：当x（0，1）时，y=|x1|=1x，在（0，1）上单调递减；由于y=（x+1）2在（1，+）上单调递增，所以y=（x+1）2在（0，1）上单调递增，排除B；y=在0，+）上单调递增，所以y=在（0，1）上单调递增，排除C；y=2x+1在R上单调递增，所以在（0，1）上单调递
5、增，排除D；故选A点评：本题考查函数单调性的判断，属基础题，定义、常见基本函数的单调性是解决该类题目的基础5（5分）（2013绍兴一模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A1B2C3D4考点：由三视图求面积、体积专题：计算题；图表型分析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可解答：解：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为=2由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成
6、一个直角三角形由于此侧棱长为，对角线长为2，故棱锥的高为=3此棱锥的体积为=2故选B点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为底面积高三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能6（5分）（2013太原一模）执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内处应填（）A4B3C2D5考点：程序框图专题：图表型分析：结合判断框的流程，写
7、出几次循环的结果，当判断框中的条件是3时，符和题意解答：解：当判断框中的条件是a3时，第一次循环结果为b=2，a=2，第二次循环结果为b=4，a=3，d第三次循环结果为b=16，a=4不满足判断框中的条件，输出的结果是16满足已知条件，故选B点评：本题考查写出几次循环的结果，判断出经几次循环输出的结果是16，得到判断框中的条件7（5分）（2013太原一模）已知数列an的通项公式为an=（nN+），其前n项和Sn=，则直线与坐标轴所围成三角形的面积为（）A36B45C50D55考点：数列的求和；直线的截距式方程专题：综合题；等差数列与等比数列分析：利用裂项相消法求出Sn，由Sn=求出n值，从而得
8、到直线方程，易求该直线与坐标轴的交点，利用三角形面积公式可得答案解答：解：an=，则Sn=1+=1，由Sn=，即1=，解得n=9，所以直线方程为，令x=0得y=9，令y=0得x=10，所以直线与坐标轴围成三角形面积为109=45故选B点评：本题考查裂项相消法求数列的前n项和、考查直线的截距式方程、三角形面积公式，属中档题8（5分）（2013太原一模）已知函数f（x）=log2x，若在1，4上随机取一个实数x0，则使得f（x0）1成立的概率为（）ABCD考点：几何概型专题：概率与统计分析：解不等式log2x1，可得x2，以长度为测度，即可求在区间1，4上随机取一实数x，该实数x满足不等式1log
9、2x的概率解答：解：本题属于几何概型解不等式log2x1，可得x2，在区间1，4上随机取一实数x，该实数x满足不等式1log2x的概率为 =故选C点评：本题考查几何概型，解题的关键是解不等式，确定其测度9（5分）（2013太原一模）函数f（x）=sin（x+）（）的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A关于点对称B关于点对称C关于直线对称D关于直线对称考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的奇偶性专题：三角函数的图像与性质分析：由周期求出=2，故函数f（x）=sin（2x+），再根据图象向右平移个单位后得到的函数 y=sin（2x+是奇
10、函数，可得=，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性解答：解：由题意可得=，解得=2，故函数f（x）=sin（2x+），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin2（x）+=sin（2x+是奇函数，故=，故 函数f（x）=sin（2x），故当时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x） 关于直线对称，故选C点评：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题10（5分）（2010浙江）若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）A2B1C1D2考点：简单线性规划分析：先根据约束条件画出可行域，设z
11、=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2xy3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入xmy+1=0得m=1，故选C点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解11（5分）（2013太原一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（5x）
12、，且，已知x1x2，x1+x25，则（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）f（x2）Cf（x1）+f（x2）0Df（x1）+f（x2）0考点：抽象函数及其应用专题：计算题分析：先确定函数的对称轴，再确定函数的对称性，进而根据x1x2，x1+x25，即可得到结论解答：解：函数f（x）满足f（x）=f（5x），函数图象关于直线x=对称，函数在（，）上单调减，在（，+）上单调增x1x2，x1+x25，若x1x2，根据函数在（，）上单调减，可得f（x1）f（x2）若x1x2，x1+x25，移项整理得x1x2，从而可知x1比x2离对称轴远，结合函数的单调性可得f（x1）f（x2）综上，f（x1）f（x2
13、）故选B点评：本题考查函数的对称性、单调性，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力12（5分）（2013太原一模）已知函数f（x）=，若数列an满足an=f（n）（nN），且an是递增数列，则实数a的取值范围是（）A，3）B（，3）C（2，3）D（1，3）考点：数列的函数特性专题：计算题；压轴题分析：根据题意，首先可得an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案解答：解：根据题意，an=f（n）=；要使an是递增数列，必有；解可得，2a3；故选C点评：本题考查数列与函数的关系，an是递增数列，必须结合f（x）的单调性进行解题，但要注意an
14、是递增数列与f（x）是增函数的区别与联系二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（2013太原一模）已知向量，满足，（），向量与的夹角为考点：数量积表示两个向量的夹角专题：平面向量及应用分析：由题意可得 （）=0，再利用两个向量的数量积的定义求得 cos的值，即可求得向量与的夹角解答：解：由题意可得 （）=0，即 11cos=0，解得 cos=再由0，可得=，故答案为 点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题14（5分）（2013太原一模）已知aR，函数 f（x）=x3+ax2+（a3）x的导函数是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方
15、程为3x+y=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数奇偶性的性质专题：导数的概念及应用分析：先由求导公式求出f（x），根据偶函数的性质，可得f（x）=f（x），从而求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程解答：解：f（x）=3x2+2ax+（a3），f（x）是偶函数，3（x）2+2a（x）+（a3）=3x2+2ax+（a3），解得a=0，k=f（0）=3，切线方程为y=3x，即3x+y=0故答案为：3x+y=0点评：本题主要考查求导公式，偶函数的性质以及导数的几何意义，难度中等15（5分）（2013太原一模）已知抛物线y2=2px（p0）的焦点F为双曲线的一个焦
16、点，经过两曲线交点的直线恰过点F，则该双曲线的离心率为考点：圆锥曲线的共同特征专题：综合题分析：根据抛物线y2=2px（p0）的焦点F为双曲线的一个焦点，可得，利用经过两曲线交点的直线恰过点F，可得（c，2c）为双曲线的一个点，由此即可求出双曲线的离心率解答：解：由题意，抛物线y2=2px（p0）的焦点F为双曲线的一个焦点经过两曲线交点的直线恰过点F，即（c，2c）为双曲线的一个点（c2a2）c24a2c2=a2（c2a2）e46e2+1=0e1e=故答案为：点评：本题考查抛物线与双曲线的综合，考查抛物线与双曲线的几何性质，确定几何量之间的关系是关键16（5分）（2013太原一模）在三棱锥PA
17、BC中，ABC是边长为2的正三角形，PA=PB=PC且PA，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥PABC外接球的表面积为6考点：球内接多面体；球的体积和表面积专题：空间位置关系与距离分析：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥PABC外接球算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥PABC外接球的表面积解答：解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥PABC外接球长方体的对角线长为 =，球直径为，半径R=，因此，三棱锥PABC外接球的表面积是4R2=4（ ）2=6故答案为：6点评：本题给出
18、三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12分）（2013太原一模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2ca）cosBbcosA=0（）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；（）求的取值范围考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用专题：计算题分析：利用正弦定理化简已知条件，根据三角形的内角和定理及诱导公式化简，由sinC不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数，（）根据余弦定理，由b，cosB和a+c的值，求出
19、ac的值，然后利用三角形的面积公式，由ac的值和sinB的值即可求出三角形ABC的面积；（）由求出的B的度数，根据三角形的内角和定理得到A+C的度数，用A表示出C，代入已知的等式，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围解答：解：由已知及正弦定理得：（2sinCsinA）cosBsinBcosA=0，即2sinCcosBsin（A+B）=0，在ABC中，由sin（A+B）=sinC故sinC（2cosB1）=0，C（0，），sinC0，2cosB1=0，所以B=60（3分）（）由b2=a2+c22accos
20、60=（a+c）23ac，即72=1323ac，得ac=40（5分）所以ABC的面积；（6分）（）因为=，（10分）又A（0，），则（12分）点评：此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值，灵活运用三角形的面积公式及两角和的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题18（12分）（2013太原一模）为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12（I）求该校报考体育专业学生的总人数n；（）已知A，a是该校报考体育专业的两名学生，A的体重小于55千
21、克，a的体重不小于70千克现从该校报考体育专业的学生中选取体重小于55千克的学生1人、体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组，求A不在训练组且a在训练组的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布专题：概率与统计分析：（I）设报考体育专业的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，根据前3个小组的频率之比为1：2：3和所求频率和为1，建立方程组，解之即可求出第二组频率，然后根据样本容量等于频数频率进行求解即可；（II）根据古典概型的计算公式，先求从该校报考体育专业的学生中选取体重小于55千克的学生1人、体重不小于70千克的学生2人组成
22、3人训练组的所有可能情形，再求符合要求的可能情形，根据公式计算即可解答：解：（I）设该校报考体育专业的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由题意可知，解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375又因为p2=0.25=，故n=48（II）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于55千克的人数为480.125=6，记他们分别为A，B，C，D，E，F，体重不小于70千克的人数为480.01255=3，记他们分别为a，b，c，则从该校报考体育专业的学生中选取体重小于55千克的学生1人、体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组的结果为：（A，a，b），（A，a，c），（A，b，c
23、），（B，a，b），（B，a，c），（B，b，c），（C，a，b），（C，a，c），（C，b，c），（D，a，b），（D，a，c），（D，b，c），（E，a，b），（E，a，c），（E，b，c），（F，a，b），（F，a，c），（F，b，c），共18种；其中A不在训练组且a在训练组的结果有：（B，a，b），（B，a，c），（C，a，b），（C，a，c），（D，a，b），（D，a，c），（E，a，b），（E，a，c），（F，a，b），（F，a，c），共10种，所求概率P=点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及列举法计算基本事件数及事件发生的概率，同时考查了计算能力，属于中档题19（12分）（2
24、013太原一模）已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=2，点D为AC的中点，A1D平面ABC，A1BACl（I）求证：AC1AlC；（）求三棱锥ClABC的体积考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离分析：（I）先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直的性质证明线线垂直；（II）先由线面垂直求棱锥的高，再根据三棱锥的体积公式计算即可解答：解：（I）证明：A1D平面ABC，平面AA1C1C平面ABC，又ACB=90，BCAC，BC平面AA1C1C，BCAC1，A1BAC1，AC1平面A1BC，AC1A1C（II）AA1C1C是平行四边形，由（
25、I）知AC1A1C，四边形AA1C1C是菱形，AA1=AC=2，A1D平面ABC，A1DAC，点D为AC的中点，AD=1，A1D=，=点评：本题考查线面垂直的性质及棱锥体积的计算20（12分）（2013太原一模）已知椭圆的离心率为，点F1，F2分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线 xy+=0相切（I）求椭圆C的方程；（）若过点F2的直线l与椭圆C相交于点M，N两点，求使Fl MN面积最大时直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）由离心率为，得，根据圆与直线相切可得，再由a2=b2+c2联立可解得
26、a，b；（）设直线l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l方程与椭圆方程消掉x得y的二次方程，则=，代入韦达定理即可得关于m的函数表达式，恰当变形后，利用函数单调性求得其最大值及相应m值；解答：解：（I）由题意得，解得，所以椭圆C的标准方程为；（）由题意可设直线l的方程为x=my+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），则点M、N的坐标是方程组的两组解，消掉x得，（3m2+4）y2+6my9=0，所以，所以=3（当且仅当m=0时取等号），所以当m=0时，SABC取最大值，此时直线l的方程为x=1点评：本题考查直线方程、椭圆方程及直线和椭圆、圆的位置关系，考查三角
27、形面积公式，考查学生分析解决问题的能力21（12分）（2013太原一模）已知函数f（x）=1nxx（I）若不等式 xf（x）2x2+ax12对一切x（0，+）恒成立，求实数a的取值范围（）若关于x的方程 f（x）x3+2ex2bx=0恰有一解（e为自然对数的底数），求实数b的值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值专题：函数的性质及应用；导数的综合应用分析：（I）分离出参数a后转化为求函数的最值问题解决，构造函数，利用导数可求得函数的最值；（）lnxxx3+2ex2bx=0在（0，+）上有唯一解，即=x22ex+（b+1）在（0，+）上有唯一解，构造函数h（x）=，x0，利
28、用导数可求得x=e时h（x）取得最大值，构造函数k（x）=x22ex+（b+1），由二次函数的性质可得x=e时k（x）取得最小值，欲满足题意，只需h（x）max=k（x）min，由此可求得b值；解答：解：（I）由题意得xlnxx22x2+ax12对一切x（0，+）恒成立，即alnx+x+对一切x（0，+）恒成立，设g（x）=lnx+x+，x0，则g（x）=，当0x3时，g（x）0，g（x）在（0，3）上单调递减，当x3时，g（x）0，g（x）在（3，+）上单调递增，所以g（x）min=g（3）=7+ln3，所以a（，7+ln3；（）由题意得，lnxxx3+2ex2bx=0在（0，+）上有唯一解
29、，即=x22ex+（b+1）在（0，+）上有唯一解，设h（x）=，x0，则h（x）=，令h（x）0，则0xe；令h（x）0，则xe，所以h（x）max=h（e）=；设k（x）=x22ex+（b+1），则k（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+）上单调递增，所以k（x）min=k（e）=b+1e2，所以当且仅当b+1e2=时，方程=x22ex+（b+1）在（0，+）上有唯一解，所以b=1点评：本题考查利用导数求函数的最值，考查函数恒成立问题，解决恒成立问题的关键是进行等价转化，常转化为函数最值解决，考查数形结合思想22（10分）（2013太原一模）选修4一1：几何证明选讲如图，O的直径AB的延
30、长线与弦CD的延长线相交于点PE为O上一点，DE交AB于点F（I）证明：DFEF=OFFP；（II）当AB=2BP时，证明：OF=BF考点：相似三角形的性质；相似三角形的判定；圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段专题：计算题；证明题分析：（I）利用弧长相等，转化为角相等，通过三角形相似证明：DFEF=OFFP；（II）设BP=a，ly AB=2BP，通过相交弦定理以及数量关系的转化证明：OF=BF解答：.（I）证明：因为，AOE=CDE，EOF=PDF，又EFO=PFD，OFEPFD，DFEF=OFFP；（II）设BP=a，由AB=2BP，得AO=BO=BP=a，由相交弦定理得：DFE
31、F=AFBF，AFBF=OFFP，OF（a+BF）=（a+OF）BF，OF=BF点评：本题考查直线与圆的关系，三角形相似以及相交弦定理的应用，考查计算能力与转化思想的应用23（2013太原一模）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：sin2=2acos（a0），已知过点P（2，4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N（）写出曲线C和直线L的普通方程； （）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值考点：参数方程化成普通方程；等比数列的性质专题：计算题分析：（1）消去参数可得直线l的普通方程，曲线C的方程可化为2sin2=2acos，从而得
32、到y2=2ax（II）写出直线l的参数方程为，代入y2=2ax得到，则有，由|BC|2=|AB|，|AC|，代入可求a的值解答：解：（）根据极坐标与直角坐标的转化可得，C：sin2=2acos2sin2=2acos，即 y2=2ax，直线L的参数方程为：，消去参数t得：直线L的方程为y+4=x+2即y=x2（3分）（）直线l的参数方程为（t为参数），代入y2=2ax得到，则有（8分）因为|MN|2=|PM|PN|，所以即：2（4+a）248（4+a）=8（4+a）解得 a=1（10分）点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程中参数的几何意义，是一道基础题24（2013太
33、原一模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|（）求不等式f（x）6的解集；（）若关于x的不等式f（x）|a1|的解集非空，求实数a的取值范围考点：带绝对值的函数；其他不等式的解法专题：计算题；压轴题分析：（）不等式等价于，或，或分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求（）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a1|4，解此不等式求得实数a的取值范围解答：解：（）不等式f（x）6 即|2x+1|+|2x3|6，或，或解得1x，解得x，解得 x2故由不等式可得，即不等式的解集为x|1x2（）f（x）=|2x+1|+|2x3|（2x+1）（2x3）|=4，即f（x）的最小值等于4，|a1|4，解此不等式得a3或a5故实数a的取值范围为（，3）（5，+）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解体现了分类讨论的数学思想，属于中档题
