1、课时素养评价十六求导法则及其应用 (25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020秦州高二检测)函数f(x)=x-2ln x,则f(1)=()A.-1B.1C.2D.-2【解析】选A.根据题意,f(x)=x-2ln x,其导数f(x)=1-,则f(1)=1-2=-1.2.(2020福州高二检测)已知函数f(x)=,则f(x)=()A.B.C.D.【解析】选C.根据题意,f(x)=,则f(x)=.3.(2020高安高二检测)f(x)=x(2 018+ln x),若f(x0)=2 020,则x0等于()A.e2B.1C.ln 2D.e【解析】选D.f(x)=x(2 018+ln
2、x),则f(x)=2 019+ln x,所以f(x0)=2 019+ln x0=2 020,所以x0=e.4.(2020兰州高二检测)已知f(x)=sin x+cos x+,则f等于()A.-1+B.1+C.1D.-1【解析】选D.f(x)=cos x-sin x,故f=cos -sin =-1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020南通高二检测)已知函数f(x)=(x+a)ln x,f(x)是函数f(x)的导函数.若f(1)=f(1),则实数a的值为_.【解析】根据题意,函数f(x)=(x+a)ln x,则f(1)=(1+a)ln 1=0,则f(x)=(x+a)ln x+(x+a)
3、(ln x)=ln x+,则f(1)=ln 1+1+a=1+a,则有1+a=0,解得a=-1.答案:-16.(2020全国卷)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为_.【解题指南】设切线的切点坐标为(x0,y0),对函数求导,利用y=2,求出x0,代入曲线方程求出y0,得到切线的点斜式方程,化简即可.【解析】设切线的切点坐标为(x0,y0),y=ln x+x+1,y=+1,y=+1=2,x0=1,y0=2,所以切点坐标为(1,2),所求的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.答案:y=2x三、解答题(每小题10分,共20分)7.求下列函数的导数:(1)y=x.(2
4、)y=.(3)y=cos (3x-2).(4)f(x)=3x2+xcos x+lg x.【解析】(1)因为y=x=x3+1+,所以y=3x2-.(2)y=-.(3)y=-sin (3x-2)(3x-2)=-3sin (3x-2).(4)f(x)=6x+cos x-xsin x+.8.已知曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为,求直线l的方程.【解析】因为y=(e2x)cos 3x+e2x(cos 3x)=2e2xcos 3x-3e2xsin 3x,所以y|x=0=2,所以经过点(0,1)的切线方程为y-1=2(x-0),即y=2x+1.设符合题意的直线方程为y=2x+
5、b,根据题意,得=,解得b=6或-4.所以符合题意的直线方程为y=2x+6或y=2x-4. (15分钟30分)1.(5分)已知f(x)=x2+cos x,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图象是()【解析】选A.函数f(x)=x2+cos x,f(x)=-sin x,f(-x)=-sin(-x)=-=-f(x),故f(x)为奇函数,故函数图象关于原点对称,排除B,D,f=-sin=-0的解集为_.【解析】由f(x)=x2-2x-4ln x,得函数定义域为(0,+),且f(x)=2x-2-=0,解得x2,故f(x)0的解集为x|x2.答案:2x-2-x|x2【加练固】已知f(x)=cos
6、x,g(x)=x,则关于x的不等式f(x)+g(x)0的解集为_.【解析】f(x)+g(x)=-sin x+10,所以sin x1,又sin x1,所以sin x=1,所以x=+2k,kZ.答案:5.(10分)已知函数f(x)是关于x的二次函数,f(x)是f(x)的导函数,对一切xR,都有x2f(x)-(2x-1)f(x)=1成立,求函数f(x)的解析式.【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x)=2ax+b.所以x2f(x)-(2x-1)f(x)=x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=(a-b)x2+(b-2c)x+c=1,所以解得所以f(x)=2x2+2x+1
7、.1.已知函数f(x)=x3-2x2+ax(xR,aR),在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直.则实数a的值为_,切线l的方程为_.【解析】因为f(x)=x3-2x2+ax,所以f(x)=x2-4x+a.由题意可知,方程f(x)=x2-4x+a=-1有两个相等的实根.所以=16-4(a+1)=0,所以a=3.所以f(x)=x2-4x+3=-1,即x2-4x+4=0.解得切点横坐标为x=2,所以f(2)=8-24+23=,所以切线l的方程为y-=(-1)(x-2),即3x+3y-8=0.所以a=3,切线l的方程为3x+3y-8=0.答案:33x+3y-8=02.已知
8、抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a.如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线上两个切点之间的线段称为公切线段.(1)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程.(2)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线段互相平分.【解析】(1)函数y=x2+2x的导数y=2x+2,曲线C1在点P(x1,+2x1)处的切线方程是y-(+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-.函数y=-x2+a的导数y=-2x,曲线C2在点Q(x2,-+a)的切线方程是y-(-+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x+a.如果直线l是过P和Q的公切线,则式和式都是l的方程消去x2得方程2+2x1+1+a=0,此方程=4-42(1+a).由=0,得a=-,解得x1=-,此时P与Q重合,即当a=-时,C1和C2有且仅有一条公切线.由得公切线方程为y=x-.(2)由(1)可知,当a-时,C1和C2有两条公切线,设一条公切线上切点为P(x1,y1),Q(x2,y2),其中P在C1上,Q在C2上,则有x1+x2=-1,y1+y2=+2x1+(-+a)=+2x1-(x1+1)2+a=-1+a,线段PQ的中点为.同理另一条公切线段PQ的中点也是,所以公切线段PQ和PQ互相平分.
