1、课时达标检测（十八） 简单的线性规划问题一、选择题1目标函数z3xy，将其看成直线方程时，z的意义是()A该直线的截距B该直线的纵截距C该直线的纵截距的相反数D该直线的横截距解析：选C由z3xy得y3xz，在该方程中z表示直线的纵截距，因此z表示该直线的纵截距的相反数2现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x辆载重6吨汽车和y辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为()Az6x4yBz5x4yCzxy Dz4x5y解析：选A由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z6x4y.3在ABC中，三个顶点分别为A(2,4)，B(1,2)，C(1,
2、0)，点P(x，y)在ABC的内部及其边界上运动，则yx的取值范围为()A1,3 B3,1C1,3 D3，1解析：选C先画出三角形区域(如图)，然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数zyx的取值范围由图求出其取值范围是1,34实数x，y满足不等式组则W的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D利用数形结合思想，把所求问题转化为动点P(x，y)与定点A(1,1)连线的斜率问题画出题中不等式组所表示的可行域如图所示，目标函数W表示阴影部分的点与定点A(1,1)的连线的斜率，由图可知点A(1，1)与点(1,0)连线的斜率为最小值，最大值趋近于1，但永远达不到1，故W1.5某企业生产甲、乙两种
3、产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨；销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨那么该企业可获得最大利润是()A12 万元 B20 万元C25 万元 D27 万元解析：选D设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系：A原料B原料甲产品x吨3x2x乙产品y吨y3y则有目标函数z5x3y.作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知，当x3，y4时可获得最大利润27万元，故选D.二、填空题6如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z6x8y取
4、得最大值的点的坐标是_解析：首先作出直线6x8y0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点(0,5)时截距最大，此时z最大答案：(0,5)7(北京高考)若x，y 满足则zxy的最小值为 _.解析：根据题意画出可行域如图，由于zxy对应的直线斜率为，且z与x正相关，结合图形可知，当直线过点A(0,1)时，z取得最小值1.答案：18若目标函数zxy1在约束条件下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是_解析：先根据作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数zxy1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线xy20，且只有当n2时，可行域才包含xy20这条直
5、线上的线段BC或其部分答案：(2，)三、解答题9已知关于x，y的二元一次不等式组(1)求函数u3xy的最大值和最小值；(2)求函数zx2y2的最大值和最小值解：(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示由u3xy，得y3xu，得到斜率为3，在y轴上的截距为u，随u变化的一组平行线由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距u最大，即u最小解方程组得C(2,3)，u最小值3(2)39.当直线经过可行域上的B点时，截距u最小，即u最大，解方程组得B(2,1)，u最大值3215.u3xy的最大值是5，最小值是9.(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示由zx2y2，得yxz1，得到斜
6、率为，在y轴上的截距为z1，且随z变化的一组平行线由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z1最小，即z最小解方程组得A(2，3)，z最小值22(3)26.当直线yxz1与直线x2y4重合时，截距z1最大，即z最大，z最大值x2y2426.zx2y2的最大值是6，最小值是6.10制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g，甲种烟花每枚可获利1.2美元，乙种烟花每枚可获利1美元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大？解：
7、根据题意，可列出下表：A药品(g)B药品(g)C药品(g)甲种烟花344乙种烟花2116原料限额120400240设每天生产甲种烟花x枚、乙种烟花y枚，获利为z美元，则目标函数z1.2xy(美元). 其中x、y应满足：如图可行域为阴影部分的整点，把z1.2xy变形为平行直线系l：y1.2xz.由图可知，当直线l经过平面区域上的点M时，截距z最大解方程组 得交点M(24,24)故每天生产甲种烟花24枚、乙种烟花24枚，能使利润最大11有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；或截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根现长度为a的钢条至少需要15根
8、，长度为b的钢条至少需要27根问：如何切割可使钢条用量最省？解：设按第一种切割方式切割的钢条x根，按第二种切割方式切割的钢条y根，根据题意得约束条件是目标函数是zxy，画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分由解得此时z11.4，但x，y，z都应当为正整数，所以点(3.6,7.8)不是最优解经过可行域内的整点且使z最小的直线是xy12，即z12，满足该约束条件的(x，y)有两个：(4,8)或(3,9)，它们都是最优解即满足条件的切割方式有两种，按第一种方式切割钢条4根，按第二种方式切割钢条8根；或按第一种方式切割钢条3根，按第二种方式切割钢条9根，均可满足要求12x，y满足约束条件目标函数为zax5y.如果z在可行域内点A处取得最大值，求实数a的取值范围解：由不等式组作出可行域，如图所示的阴影部分由zax5y可化为yx.目标函数对应直线的斜率k.又直线AB的斜率kAB1，直线AC的斜率kAC.由图可知当kACkkAB，即1时，z都能在A点取得最大值故所求a的取值范围是5a.
