1、第九节函数模型及其应用授课提示：对应学生用书第34页基础梳理1几类常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化
2、随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)求模：求解数学模型，得出数学结论(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义，以上过程用框图表示如下：四基自测1(基础点：指数函数换型)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为()Aya(1p%)
3、x(0xm)Bya(1p%)x(0xm，xN)Cya(1xp%)(0xm)Dya(1xp%)(0xm，xN)答案：B2(基础点：拟合函数模型)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y2xBylog2xCy(x21) Dy2.61cos x答案：B3(基础点：分段函数模型)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km
4、定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是_答案：y4(基础点：二次函数模型)有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为_(围墙厚度不计)答案：2 500 m2授课提示：对应学生用书第35页考点一由函数图像刻画变化过程挖掘体会函数中变量的关系/ 自主练透例 (1)(2020安阳模拟)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()解析由图形可知，张大爷的行走路线是：开始一段时
5、间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，C符合答案C(2)2018年6月，上海合作组织青岛峰会后，青岛成为国内外旅游的好去处，随着游客的增加，菜价上涨，某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大答案B破题技法判断函数图像与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型
6、，再结合模型选图像(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案考点二已知函数模型的实际问题挖掘函数模型的应用/ 互动探究例为了贯彻落实习近平总书记提出的“决战决胜脱贫攻坚战”，某地开展了“万名干部下基层”，以实际行动践行初心使命，某工作队结合所驻村的自然条件，帮助村民投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P804，Qa12
7、0，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？解析(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，f(50)804150120277.5(万元)(2)f(x)804(200x)120x4250，依题意得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t，则t2，6，yt24t250(t8)2282，当t8，即x128时，f(x)取得最大值，f(x)max282.甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元破题技法对于已知
8、函数模型解决问题(1)将题目中已知函数变量转化为实际量理解(2)根据实际意义，求自变量x的取值范围(定义域)(3)根据函数模型，确定要解决的问题及方法(4)回答实际问题考点三构建函数模型的实际问题挖掘1构建一次函数、二次函数、分段函数模型/ 自主练透例1(2020西宁模拟)牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k0)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围解析(1
9、)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1，由此可得ykx(0xm)(2)对原二次函数配方，得y(x2mx).即当x时，y取得最大值.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0xym.因为当x时，ymax，所以0m，解得2k0，所以0k0)函数模型/ 互动探究例2(2020烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元在年产量不足8万件时，W(x)x2x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)6x38(
10、万元)每件产品售价为5元通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润年销售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解析(1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得：当0x8时，L(x)5x3x24x3，当x8时，L(x)5x335，所以L(x)(2)当0x8时，L(x)(x6)29，此时，当x6时，L(x)取得最大值L(6)9(万元)当x8时，L(x)35352352015(万元)此时，当且仅当x，即x10时，L(x)取得最大值15
11、万元因为915，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元挖掘3构建指数、对数模型的实际问题/ 互动探究例3候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：vablog3(其中a，b是实数)据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解析(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位
12、，故有ablog3 0，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故ablog31，整理得a2b1.解方程组得(2)由(1)知，vablog31log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v2，即1log32，即log33，解得Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位挖掘4拟合函数的选择/ 互动探究例4某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格基础之上继续下跌现有三种价格变化的模拟函数可供选择：f(x)pqx；f(x)px2qx7；f(x)logq(
13、xp)其中p，q均为常数且q1.(注：x表示上市时间，f(x)表示价格，记x0表示4月1号，x1表示5月1号，以此类推x0，5)(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；(2)对(1)中所选的函数f(x)，若f(2)11，f(3)10，记g(x)，经过多年的统计发现，当函数g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？解析(1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势，故应该选择f(x)px2qx7.(2)由f(2)11，f(3)10解得f(x)
14、x24x7.g(x).因为2，当且仅当x13即x2时等号成立所以明年拓展外销的时间应为6月1号破题技法1.建立函数模型的技巧(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图像为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图像与性质求解(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图像为抛物线(或抛物线的一部分)等，一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式结合二次函数的图像、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解2建立函数模型的步骤.
