1、2022年宁波市高中数学竞赛试题2022年12月11日 9：00-11：00注意：报考A组的考生作答A卷（所有试题），报考B组的考生作答B卷（前17题）请考生按规定用笔，将所有试题的答案涂、写在答题纸上，一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共24分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1己知正方形的边长为1，则（ ）A1 B C D2已知实数a，b，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分如图，
2、在勒洛四面体中，设弧的中点分别为M，N，若线段的长度为a，则（ ）A弧的长度为 B线段的长度为aC勒洛四面体能置于一个直径为a的球内 D勒洛四面体的体积大于4己知A，B分别在两圆上运动，且在上存在点P，使得，则线段中点M轨迹的面积为（ ）A B C D二、选择题（本题共4小题，每小题8分，共32分每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的均不得分）5一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为
3、偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（ ）A事件A与事件C互斥 B事件B与事件C互斥C事件A与事件B相互独立 D事件B与事件C相互独立6已知且，关于x的不等式，下列结论正确的是（ ）A存在a，使得该不等式的解集是R B存在a，使得该不等式的解集是C存在a，使得该不等式的解集是 D存在a，使得该不等式的解集是7已知函数的定义域均为R，且当时，则（ ）A BC函数在上单调递减 D方程有且只有1个实根8设函数的定义域为I，区间，如果对于任意的常数，都存在实数，满足，且，那么称是区间上的“绝对差发散函数”则下列函数是区间上的“绝对差发散函数”的是（ ）A B C D三、填空题（本题共6小题，每小
4、题8分，共48分请把答案写在答题纸相应位置上）9设O为坐标原点，F是抛物线的焦点，若P是该抛物线上一点，且，则点P到y轴的距离为_10已知实数满足，则_11在的16个方格中填上实数，使得各行各列都成等差数列若其中4个方格中所填的数如图所示，则图中打*号的方格填的数是_*1313133912己知正三棱柱的各棱长均为2，M，N分别为棱上的点若平面将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则的面积的最小值为_13已知，集合，记，则集合A中的点组成图形的面积为_14己知，关于z的方程有四个复数根若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为_四、解答题（本题共3小题，第15、16题每
5、题15分，第17题16分，共46分）15如图，在中，设点D是边上一点，满足（）记，用表示；（）若，求16已知，设函数（）判断函数的奇偶性；（）若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围17设点，过点F作斜率为k的直线l交椭圆于C，D两点（）记直线的斜率分别为从下列三个式子中任选其一，当k变化时，判断该式子是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由；（）当直线分别交双曲线的下支于P，Q两点（异于点B）时，求的取值范围五、解答题（A卷试题，B卷考生不答本题共2小题，每小题25分，共50分）18已知正整数数列满足（）若，求；（）求的取值的集合19甲、乙两人分别进行投硬币和掷图钉试验，每人各进行10
6、0次试验设为前k次试验中硬币正面向上的次数，为前k次试验中图钉针尖朝下的次数，记（）若，问是否存在常数P，不论试验过程中如何变化，均存在某个，使得？若存在，求出所有P的可能值；若不存在，请说明理由；（）若，问是否存在常数Q，不论试验过程中如何变化，均存在某个，使得？若存在，求出所有Q的可能值；若不存在，请说明理由2022年宁波市高中数学竞赛参考答案2022年12月11日 9：00-11：00注意：报考A组的考生作答A卷（所有试题），报考B组的考生作答B卷（前17题）请考生按规定用笔，将试题的答案涂、写在答题纸上一、选择题（本题共4小题，每小题6分，共24分每小题列出的四个选项中只有一个是符合题
7、目要求的，不选、多选、错选均不得分）1答案：D解析：，故选D2答案：A解析：若，则，故“”是“”的充分条件；当时，但，故“”不是“”的必要条件；所以选A3答案：D解析：选项A，弧为两个半径为a、球心距为a的球面相交所得的小圆中的弧；易知小圆半径为，弦长为a，可得弧长不为故A错误；选项B，故B错误；选项C，由，故C错误；选项D，由四面体的体积为，故D正确4答案：C解析：法一：不妨设轴，如图：设，不妨设，所以，设，则，当时，递增，此时；当时，递增，此时所以，此时M的轨迹为线段则当弦在圆上转动时，上述线段会扫出一个内径为，外径为的圆环，易得面积为法二：作矩形，则由，记中点为E，则，则点M在中点E为圆
8、心，1为半径的圆上若记，则点M的轨迹方程为，即，当变化时，x，y需满足，可得所以当P变化时，点M的轨迹为，内径为，外径为的一个圆环，此圆环的面积为二、选择题（本题共4小题，每小题8分，共32分每小题列出的四个选项中至少有一个是符合题目要求的，全部选对的得8分，选对但不全的得3分，不选、有选错的得0分）5答案：ACD解析：对AB，显然事件A与事件C互斥，事件B与事件C不互斥，故A正确，B错误；对C，易得，所以C正确；对D，易得，所以D正确；故选ACD6答案：ACD解析：，故A正确；，又，故存在a使得，故C正确；，又，故存在a使得，故D正确；故选ACD7答案：ACD解析：对AB，由可得，可得，故B
9、错误，且由可得，令可得，所以，故A正确；对C，由可得，即，由可得，即，根据上述性质可得的图象如下，故在上单调递减，所以C正确；对D，由上述对称性可得的图象如下，故方程只有1个解，所以D正确故选ACD8答案：BCD解析：对A，因为在递减，在递增，所以，A错误；对B，因为在是递增的，所以，当时，B正确；对C，设递增数列满足：，且为有理数，为无理数则，所以，当时，C正确；对D，设，则，所以，D正确故选BCD三、填空题（本题共6小题，每小题8分，共48分请把答案写在答卷相应位置上）9答案：3解析：P到y轴的距离10答案：1解析：设，显然函数单调递增，由题可得，所以，即11答案：5解：设*号的空格上填的
10、实数为x，则进而有第三列的公差为，从而又13，B，C成等差数列，得，解得*A131313BC3912答案：解析：由，得，从而建立空间直角坐标系如图，可设，则设平面的法向量为则即，可取又平面的法向量为设平面与平面所成角为，则由射影面积公式可得，所以，等号当且仅当时取到，所以13答案：1解析：若，则，从而所以，即得故有又易知集合中的点组成图形的面积为1，所以集合A中的点组成图形的面积为114答案：解析：设根为的根为，由题意，即且当时，均为实数，则四个实数根均在实轴上，矛盾；当时，为实数且为虚数，且，所以；当时，均为虚数，且四个虚数根的实部均为，即四个对应点均在直线上矛盾综上：四、解答题（本题共3小
11、题，第15、16题每题15分，第17题16分，共46分）15答案：（）；（）1解析：（）由题在中，根据正弦定理可得（）在中，根据正弦定理可得，所以，所以，可得又由（）知，所以16答案：（）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数（）解析：（）易知，若，则，解得，此时为偶函数；若，则，解得a不存在综上，当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数（）时，显然成立，所以符合时，若，则恒成立，故只需考虑对任意恒成立（*），取，有，解得，即得而当时，故（*）式可化为对任意恒成立，令,当时，恒成立；当时，对称轴，且因此，综上：17答案：（）均为定值，；（）解析：（）由题可得，设l与联立，则选择：，故为定值，且；选择
12、：易得，则，所以，故为定值，且；选择：易得，则，所以，故为定值，且（）若选择，结合，可得；若选得减，则已得此时与联立，所以，同理可得所以因为分别交下支于P，Q两点，所以，所以又，所以，所以五、解答题（A卷试题，B卷考生不答本题共2小题，每小题25分，共50分）18答案：（）1；（）解析：（）由条件知：两式相减得，若，则则，则，矛盾所以，所以，所以（）由（）知，所以设，则，所以而，所以，所以，所以的取值的集合为19答案：不存在；（）存在，或解析：（）不存在，先考虑最后50次试验硬币正面向上，则对应的均小于0.5再考虑第2次至第51次试验硬币正面向上，则对应的均大于等于0.5这与最后50次试验硬币正面向上的情形没有公共的取值，故这样的P不存在，（）存在，或，先考虑最后70次试验针尖向下，则对应的均小子0.7再考虑第2次至第71次试验针尖向下，则对应的分别为，所以符合要求的Q只可能取下证时，必存在时，使得设，若第k次试验针尖朝上，则，则；若第k次试验针尖朝下，则，则当时，所以由介值性定理知，必存在，使得，即，得证
