1、专题讲练 专题5 数 列 第3讲 数列的综合问题第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航考 点新课标卷考题统计考纲解读2019年2018年2017年等差数列前n项和的最值问题卷，171.数列与不等式结合问题常以最值问题、恒成立问题、证明问题呈现在证明问题中经常要用到放缩法2数列与函数结合问题常以求最大项、求和的最值、求满足条件的参数的最值的形式呈现，常以函数的观点处理问题，但一定要注意变量的取值是正整数3数列与程序框图结合问题常归结为数列求和、与解析几何结合问题常以坐标形式出现、与向量结合问题常与数列的递推公式有关4等差数列的前n项和的最值问题，各种题型都有，是常考的一类问
2、题.数列与不等式结合问题卷，12数列与函数结合问题数列与程序框图、解析几何、三角函数、向量等其他知识结合问题卷，21栏目导航02 热 点 题 型 03 精 题 强 化 01 真 题 感 悟 第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航01 真 题 感 悟 1(2019年浙江)设等差数列an的前n项和为Sn，a34，a4S3.数列bn满足：对每个nN*，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记cnan2bn，nN*，求证：c1c2cn2 n，nN*.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)设an的公差为
3、d，由a12d4，a13d3a13d，解得a10，d2.an2n2.Snn2n.由Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列，得(Sn1bn)2(Snbn)(Sn2bn)，所以bnS2n1SnSn2d，可得bnn2n.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)cnan2bnn1nn1.下面用数学归纳法证明c1c2cn2 n.当n1时，c102，不等式成立假设nk时不等式成立，即c1c2ck2 k，则当nk1时，c1c2ckck12 kkk1k22 k1k1 2 k2k1 k2 k2(k1 k)2 k1，nk1时，不等式也成立由得c1c2cn2 n，nN*.第一部分 专题
4、讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航2(2018年新课标)记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值【解析】(1)设等差数列an的公差为d.S33a13d3(7)3d15，解得d2.ana1(n1)d72(n1)2n9.(2)Snna1an2n72n92n28n(n4)216，当n4时，Sn有最小值为16.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航1求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Snna1an2na1nn12d.等比数列的前n项和公式(i)当q1时，Snna1；(ii)当q1
5、时，Sna11qn1qa1anq1q.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型
6、，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航2常见的裂项公式(1)1nn11n 1n1；(2)12n12n11212n112n1；(3)1n n1 n1 n.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航例1(2018年天津)设an是等差数列，其前n项和为Sn(nN*)；bn是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(nN*)已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整数n的值02
7、热 点 题 型 等差数列与等比数列的综合问题第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【分析】(1)由已知列式可求得bn的公比q，则数列bn的通项公式与前n项和可求；再由已知列关于an首项与公差d的方程组，求得首项与公差，代入等差数列的通项公式与前n项和公式可得Sn.(2)由(1)求出T1T2Tn，代入Sn(T1T2Tn)an4bn，化为关于n的一元二次方程求解正整数n的值第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)设等比数列bn的公比为q，由b11，b3b22，可得q2q20.由q0，可得q2.故bn2n1，Tn12n12 2n1.设等差数列a
8、n的公差为d，由b4a3a5，得a13d4.由b5a42a6，得3a113d16.a1d1.故ann，Snnn12.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)由(1)，可得T1T2Tn(21222n)n212n12n2n1n2.由Sn(T1T2Tn)an4bn，可得nn122n1n2n2n1.整理得n23n40，解得n1(舍)或n4.n的值为4.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航等差数列、等比数列综合问题的解题策略：(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等(2)注意细
9、节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航已知等差数列an的首项a11，公差d0且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对nN*均有c1b1c2b2cnbnan1成立，求c1c2c3c2018.【解析】(1)由已知有a21d，a514d，a14113d，(14d)2(1d)(113d)，解得d2或d0(舍去)an1(n1)
10、22n1.又b2a23，b3a59，数列bn的公比为3.bn33n23n1.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)由c1b1c2b2cnbnan1，得当n2时，c1b1c2b2cn1bn1an.两式相减，得2bn23n1(n2)又当n1时，c1b1a2，3，n1，23n1，n2.c1c2c3c2 01836232 01813 3(332 018)32 018.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航例2(2019年上海模拟)用分期付款的方式购买家用电器需11 500元，购买当天先付1 500元，以后每月交付500元，并加付利息，月利率为0.5%，
11、若从交付1 500元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问：(1)分期付款的第10个月应交付多少钱？(2)全部贷款付清后，买家用电器实际花了多少钱？【分析】如果后一个量与前一个量的差是一个固定的数时，该模型是等差模型，这个固定的数就是公差数列的实际应用第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)设每月付款依次构成数列an，则a150010 0000.005550，a2500(10 000500)0.0055502.5，a3500(10 0005002)0.0055502.52，a105502.59527.5.故第10个月应交付527.5元第一部分 专题讲练 高考
12、二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)由(1)可得an5502.5(n1)2.5n552.5，则an为等差数列，且n10 000500 20，S201 50020a1a2021 50010(5502.520552.5)1 50012 025.故买家用电器实际花了12 025元第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航解数列应用题的建模思路：从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2019年上海校级月考)某商场经过市场调查分析后得知：预计2019年从开始的前n个月内对
13、某种商品需求的累计数f(n)190n(n2)(18n)，n1,2,3，12(单位：万件)(1)在这一年内，哪几个月需求量将超过1.3万件？(2)若在全年销售中，将该产品都在每月初等量投放市场，为了保证该商品全年不脱销(即供大于求)，每月初至少要投放多少件商品？(精确到件)第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)设第n个月的月需求量为an，则anf1，n1，fnfn1，2n12，因为f(n)190n(n2)(18n)，所以a1f(1)17301.3，即3n235n19117，解得143 n0，y0，ynx3n所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an(nN
14、*)(1)求数列an的通项公式；(2)记数列an的前n项和为Sn，且TnSn32n1，若对一切的正整数n，总有Tnm，求实数m的取值范围第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)由x0，y0,3nnxy，得0 x3.则Dn内的整点在直线x1和x2上记ynx3n为l，l与x1，x2的交点的纵坐标分别为y1，y2，则y12n，y2n，an3n.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)Sn3(12n)3nn12，Tnnn12n.令Tn1Tn n22n 2，当n3时，TnTn1，且T11T2T332，即Tn的最大值为32.实数m的取值范围为32
15、，.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航1数列与函数的综合一般体现在两个方面(1)以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题2数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2
16、018年黑龙江大庆一模)已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)在曲线y12x252x上，数列bn满足bnbn22bn1，b411，bn的前5项和为45.(1)求an，bn的通项公式；(2)设cn12an32bn8，数列cn的前n项和为Tn，求使不等式Tn k54恒成立的最小正整数k的值第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)由已知得Sn12n252n，当n1时，a1S112523.当n2时，anSnSn112n252n12(n1)252(n1)n2.当n1时，符合上式所以ann2.因为数列bn满足bnbn22bn1，所以bn为等差数列设其公差为d，则b4
17、b13d11，5b35b12d45，解得b15，d2，所以bn2n3.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)由(1)得，cn12an32bn812n14n2122n12n11412n112n1，Tn14113131512n112n1 14112n1，所以Tn14恒成立故Tn k54恒成立只要 k5414恒成立，解得k272.所以最小正整数k的值为14.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航03 精 题 强 化 1已知函数f(x)x1x(x0)，以点(n，f(n)为切点作函数图象的切线ln(nN*)，直线xn1与函数yf(x)图象及切线ln分别相
18、交于An，Bn，记an|AnBn|.(1)求切线ln的方程及数列an的通项公式；(2)设数列nan的前n项和为Sn，求证：Sn1.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航【解析】(1)对f(x)x1x(x0)求导，得f(x)11x2，则切线ln的方程为yn1n 1 1n2(xn)，即y1 1n2 x2n.易知Ann1，n1 1n1，Bnn1，n1n1n2，由an|AnBn|，知an1n1n1n21n2n1.(2)证明：nan1nn11n 1n1，Sna12a2nan11212131n 1n11 1n11.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航2已知等比
19、数列an满足an1an92n1，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn，若不等式Snkan2对一切nN*恒成立，求实数k的取值范围【解析】(1)设等比数列an的公比为q，an1an92n1，nN*，a2a19，a3a218.qa3a2a2a1189 2.2a1a19.a13.an32n1，nN*.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航(2)由(1)，知Sna11qn1q312n12 3(2n1)，则不等式3(2n1)k32n12，即k2132n1对一切nN*恒成立令f(n)2132n1，则f(n)随n的增大而增大，f(n)minf(1)21353.k53.实数k的取值范围为，53.第一部分 专题讲练 高考二轮专题析与练 数学(理科)返回导航专题复习检测谢谢观看
