1、河北省张家口市宣化区宣化第一中学2021届高三数学9月月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.A. B. C. D. 2. 已知集合，则A. B. C. 或D. 或3. 已知抛物线C：，则焦点到准线的距离是A. B. C. 3D. 4. 设，则A. B. C. D. 5. 某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目，倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动现有来自高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生
2、，且这2名男生来自同一个年级的概率是A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致是A. B. C. D. 7. 九章算术是我国最重要的数学典籍，曾被列为对数学发展形响最大的七部世界名著之一其中的“竹九节”问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列已知较粗的下3节共容4升，较瘦的上4节共容3升根据上述条件，请问各节容积的总和是A. B. C. D. 8. 已知的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中的系数为A. 15B. 21C. 30D. 359. 在以BC为斜边的直角中，则A. 3B. C. D. 210. 在长方体中，点E为棱上的点，且，则异面直线DE与所成角的正弦
3、值为A. B. C. D. 11. 将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得各点向右平移个单位长度，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍，就得到函数的图象，则下列说法中正确的个数是函数的最小正周期为函数的最大值为2，函数图象的对称轴方程为设，为方程的两个不相等的根，则的最小值为A. B. 2C. 3D. 412. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点其中点A在第一象限设点H，G分别为，的内心，则的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线在点处的切线方程为_14. 在产品质量检测中，已知某产品的一
4、项质量指标，且的产品数量为5436件请估计该批次检测的产品数量是_件参考数据：若，则，15. 已知等比数列，且，则_16. 在四面体ABCD中，二面角的大小为，则此四面体的外接球的表面积是_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知求cosA的值；若，求a的最小值18. 某市一所高中为备战即将举行的全市羽毛球比赛，学校决定组织甲、乙两队进行羽毛球对抗赛实战训练每队四名运动员，并统计了以往多次比赛成绩，按由高到低进行排序分别为第一名、第二名、第三名、第四名比赛规则为甲、乙两队同名次的运动员进行对抗，每场对抗赛都互不影响，当甲、乙两队的四名
5、队员都进行一次对抗赛后称为一个轮次按以往多次比赛统计的结果，甲、乙两队同名次进行对抗时，甲队队员获胜的概率分别为，进行一个轮次对抗赛后一共有多少种对抗结果？计分规则为每次对抗赛获胜一方所在的队得1分，失败一方所在的队得0分设进行一个轮次对抗赛后甲队所得分数为X，求X的分布列及数学期望19. 如图1，在等腰梯形ABCD中，E为AD的中点，现分别沿BE，EC将和折起，使得平面平面BCE，平面平面BCE，连接AD，如图2若在平面BCE内存在点G，使得平面ABE，请问点G的轨迹是什么图形？并说明理由求平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值20. 已知椭圆C：的两个焦点与其中一个顶点构成一个斜边长为
6、4的等腰直角三角形求椭圆C的标准方程设动直线l交椭圆C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k，若，求证的面积为定值，并求此定值21. 已知函数当时，讨论函数的零点个数，当时，证明不等式恒成立22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为求曲线C的极坐标方程，设直线l与曲线C相交于不同的两点，求的取值范围函数的最小值为t求t的值，若，且，求的最小值答案和解析1.【答案】A【解析】解：故选：A直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2.【答案】B【解析】解：集合或，
7、故选：B先分别求出集合A和B，由此能求出本题考查两个集合的交集的个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.【答案】A【解析】解：根据题意，抛物线C：，可得，焦点坐标为，准线方程为，该抛物线的焦点到准线的距离等于：；故选：A根据题意，求得抛物线的标准方程，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的焦点坐标以及准线方程，由此计算抛物线的焦点到准线的距离即可得答案本题考查抛物线的几何性质，关键是求出抛物线的标准方程的化简4.【答案】C【解析】解：，故选：C利用指数函数与对数函数的单调性即可得出本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5.【答案】D【解
8、析】解：依题意，设选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级为事件A，则事件A包含的基本事件个数为：，又所有的试验结果共有个，所以，故选：D所有的试验结果共有个，选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级包含的基本事件个数为，代入公式即可本题考查了计数原理，考查了排列组合，属于基础题6.【答案】C【解析】解：，为奇函数，故排除D；当时，故排除B；当时，令，设当时，则，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，为上的最大值因为，解得或舍，又，所以，而A选项在的最大值大于1，排除A；故选：C根据函数的奇偶性可以排除D，排除B，再根据间的极大值是否大于1本题考查了函数的
9、图象与图象变换，考查了三角恒等变换，导数与函数的极值，属于中档题7.【答案】A【解析】解：设每节的容积自上而下组成等差数列，由题意可得：，则，联立解得，故选：A设每节的容积自上而下组成等差数列，由题意可得：，利用通项公式与求和公式即可得出本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.【答案】B【解析】解：的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数为，故选：B先求出a的值，再把按照二项式定理展开，可得该展开式中的系数本题主要考查二项式定理的应用，求各项系数和的方法，属于基础题9.【答案】C【解析】解：以BC为斜边的直角中，建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，
10、所以，故选：C画出图形，建立坐标系，利用向量的数量积求解即可本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考查计算能力10.【答案】B【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则0，2，0，2，2，2，设异面直线DE与所成角为，则，异面直线DE与所成角的正弦值为故选：B以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与所成角的正弦值本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11.【答案】A【解析】解：函数，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
11、可得的图象，再把所得各点向右平移个单位长度，可得的图象，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍，就得到函数的图象，函数的最小正周期为，故错误；，函数的最大值为，故错误；，由，可得，函数图象的对称轴方程为，故错误；，设，为方程的两个不相等的根，可得或，即有或，则的最小值为，故正确故选：A由三角函数的图象变换可得，由周期公式可判断；由余弦函数的最值可判断；由余弦函数的对称轴可判断；由特殊角的余弦函数值，以及余弦函数的周期可得的最小值，可判断本题考查三角函数的图象变换和性质，主要是周期性和最值、对称性，考查化简运算能力，属于中档题12.【答案】D【解析】解：记边、上的切点分别为M、N、E，有H、E横坐
12、标相等，则，由，即，得，即，记H的横坐标为，则，于是，得，同样内心G的横坐标也为a，则有轴，设直线AB的倾斜角为，则，在中，双曲线C：的，可得，由于直线PQ为右支上一点，且一条渐近线的斜率为，倾斜角为，可得，即，可得的范围是故选：D利用平面几何图形的性质可得H、G的横坐标相等为a，得到轴且过双曲线右顶点E，设AB的倾斜角设为，求解三角形可得，由，即可得到所求范围本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，属于难题13.【答案】【解析】解：因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为：1此处的切线方程为；即故答案为：求出曲线在点处的导数值，这个导数值即函数图
13、象在该点处的切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解即可本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率，正确利用直线的点斜式方程，考查计算能力14.【答案】40000【解析】解：设该批次检测的产品数量是n，由，得，解得：故答案为：40000由已知求得，可得，代值求解该批次检测的产品数量本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题15.【答案】【解析】解：设等比数列的公比为，解得则故答案为：利用等比数列的通项公式即可得出本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.【答案】【解析】解：在四面体ABCD
14、中，二面角的大小为，是等边三角形，取AC中点E，AD中点F，连结EF，BF，BF，则，是二面角的平面角，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，过E作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设四面体的外接球球心为O，过O作平面ABC，则G是重心，设，则由题意得0，1，1，解得，球半径，此四面体的外接球的表面积故答案为：推导出是等边三角形，取AC中点E，AD中点F，连结EF，BF，BF，则，是二面角的平面角，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，过E作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设四面体的外接球球心为O，过O作平面ABC，则G是重心，求出球半径R，由此能求出此四面体的外接球的表面积
15、本题考查四面体的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、四面体的外接球等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17.【答案】解：，由正弦定理可得，即，可得，解得，当且仅当时等号成立，由余弦定理可得，的最小值为【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求cosA的值由已知利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，进而根据余弦定理即可求解本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，基本不等式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.【答案】解：甲、乙两队的四名队员每进行一次对抗赛都会有2种情况产生，进行一个轮次比赛后一共
16、有种对抗结果的可能取值分别为4，3，2，1，0，的分布列为：X43210P【解析】由甲、乙两队的四名队员每进行一次对抗赛都会有2种情况产生，能求出进行一个轮次比赛后一共有多少种对抗结果的可能取值分别为4，3，2，1，0，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和本题考查排列组合、离散型随机变量的分布列及数学期望、相互独立事件乘法公式等基础等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.【答案】解：点G的轨迹是直线MN理由如下：如图，分别取BC和CE的中点N和M，连结DM，MN，ND，则，又平面BEA，平面BEA，平面BEA，依题意有，均为边长为2的正三角形，又平面平面BCE，则平面BEA，平面平面
17、BEA，点G的轨迹是直线MN如图，以点M为坐标原点，MB为x轴，MC为y轴，MD为z轴，建立空间直角坐标系，则，0，1，设平面AED的法向量y，则，取，得，取平面BCE的一个法向量0，则，平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值为【解析】分别取BC和CE的中点N和M，连结DM，MN，ND，则，从而平面BEA，推导出，由平面平面BCE，得平面BEA，从而平面平面BEA，由此得到点G的轨迹是直线MN以点M为坐标原点，MB为x轴，MC为y轴，MD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AED与平面BCE所成锐二面角的余弦值本题考查点的轨迹图形的判断，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线
18、、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.【答案】解：设椭圆C的左右焦点分别为，依题意有，可得，则，所以椭圆C的标准方程为，当直线l与x轴垂直时，设直线l的方程为，可设，由，且，解得，或，所以；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为，联立，得，由，则，即，化简，得，所以，整理，得，所以，又，点O到直线PQ的距离，所以，综上，的面积为定值，此定值为【解析】设椭圆C的左右焦点分别为，依题意有，求出b，c即可；分两种情况讨论：当直线l与x轴垂直时，设直线l的方程为，可设，由，且，解出P、Q坐标，进而求出面积；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为，联立，得，由，则，即，
19、整理得，所以，又，点O到直线PQ的距离，所以，故面积为定值本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆形成图形面积的求法，属于中档题21.【答案】解：，令，则，所以函数在上单调递增，所以，当时，即函数在上单调递增，且，所以此时有且只有一个零点，证明：设，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，则，有所以证明不等式恒成立可转化为证明恒成立，即证明恒成立，由知，当时，恒成立，即不等式恒成立【解析】利用导数对函数求导，判断函数的单调性，求出函数的最值，进而求解；证明不等式恒成立可转化为证明恒成立，进而求解；考查函数的求导，一阶导，二阶导，判断函数的增减，进而判断零点；考查恒成立问题的转化，将要证明的问题转化为
20、新问题，进而求解；22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为由于把直线l的极坐标方程为代入曲线的极坐标方程为所以则，由于，所以，则所以所以，的取值范围为【解析】直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.【答案】解：，所以由知，；当且仅当时，即时取等号，的最小值为【解析】分类讨论将函数化为分段函数，进而求出t的值；根据t的值求出的值，在根据基本不等式求出最小值本题考查分段函数的性质以及基本不等式求最值中的应用，属于中档题
