1、广东省梅州市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1（5分）设集合U=1，2，3，4，5，M=l，3，5，则UM=（）A1，2，4B1，3，5C2，4DU2（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A12iB1+2iC12iD1+2i3（5分）若aR，则“a=3”是“a2=9”的（）条件A充分而不必要B必要而不充分C充要D既不充分又不必要4（5分）下列函数为偶函数的是（）Ay=sinxBy=x3Cy=exD5（5分）已知向量=（2，3），=（x，6），且，则x的值为（）A4B4C9D96（5分）在等差
2、数列an中，若a2+a8=4，则其前9项的和S9=（）A18B27C36D97（5分）双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x8（5分）已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，m，则D若m，n，则mn9（5分）已知函数f（x）=x33x，若过点A（0，16）的直线方程为y=ax+16，与曲线y=f（x）相切，则实数a的值是（）A3B3C6D910（5分）已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A（，1）（1，+）B（，）（，+）C（，2）（2，
3、+）D（，）（，+）二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）11（5分）已知sin（+）=，则sin2=12（5分）已知则z=3x+y的最大值为13（5分）阅读如图所示的程序框图 若输入n=5，则输出k的值为（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只计第14题的分）【坐标系与参数方程】14（5分）直线2cos=1与圆=2cos相交的弦长为15如图，已知ABC内接于O，点D在OC的延长线上，AD切O于A，若ABC=30，AC=2，则AD的长为三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答
4、须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（12分）已知函数f（x）=2cos（x），xR（1）求f（）的值；（2）若f（+）=，（，0），求f（2）的值17（12分）为调查学生每周平均体育运动时间的情况，某校收集到2015届高三（1）班20位学生的样本数据（单位：小时），将他们的每周平均体育运动时间分为6组：0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，求出该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值；（2）若在该班每周平均体育运动时间低于4小时的学生中任意抽取2人，求抽取到运动时间低于2小时的学生的概率18（1
5、4分）如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，PAD为等腰直角三角形，APD=90，平面PAD平面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分别是PC和BD的中点（1）证明：EF面PAD； （2）证明：面PDC面PAD；（3）求四棱锥PABCD的体积19（14分）已知数列an的前n项和Sn满足an+1=2Sn+6，且a1=6（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）设，证明：b1+b2+bn120（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上（）写出该抛物线的方程及其准线方程；（）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时
6、，求y1+y2的值及直线AB的斜率21（14分）设函数f（x）=x3kx2+x（kR）（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k0时，求函数f（x）在k，k上的最小值m和最大值M广东省梅州市2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1（5分）设集合U=1，2，3，4，5，M=l，3，5，则UM=（）A1，2，4B1，3，5C2，4DU考点：补集及其运算 专题：集合分析：直接利用补集的定义求出CUM解答：解：集合U=1，2，3，4，5，M=l，3，5，CUM=2，4，故选
7、：C点评：本题主要考查补集的定义和求法，属于基础题2（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A12iB1+2iC12iD1+2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：根据两个复数代数形式的乘除法法则化简复数，从而得到结论解答：解：复数=（2i+1）=12i，故选A点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3（5分）若aR，则“a=3”是“a2=9”的（）条件A充分而不必要B必要而不充分C充要D既不充分又不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题分析：先判断出“a=3”成立能推出“a2=9”成立，因为“a2=9时a=3，
8、通过举例子a=3成立推不出“a=3”成立，利用充要条件的有关定义得到结论解答：解：已知aR，则a=3a2=9；a2=9，可得a=3，当a=3时，满足a2=9，推不出a=3，“a=3”是“a2=9”的充分而不必要条件，故选A；点评：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，但解题的关键是知道一个正数的平方根有两个；4（5分）下列函数为偶函数的是（）Ay=sinxBy=x3Cy=exD考点：函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：结合选项，逐项检验是否满足f（x）=f（x），即可判断解答：解：A：y=sinx，则有f（x）=sin（x）=sinx为奇函数B：y=x3，
9、则有f（x）=（x）3=x3=f（x）为奇函数，C：y=ex，则有f（x）=，为非奇非偶函数D：y=ln，则有F（x）=ln=f（x）为偶函数故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶行的判断，解题的关键是熟练掌握基本定义5（5分）已知向量=（2，3），=（x，6），且，则x的值为（）A4B4C9D9考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：直接利用向量的平行的充要条件，通过坐标运算求解即可解答：解：向量=（2，3），=（x，6），且，可得3x=12，解得x=4故选：B点评：本题考查向量的坐标运算，向量的平行的充要条件的应用，考查计算能力6（5分）在等差数列an中，若a2+a8
10、=4，则其前9项的和S9=（）A18B27C36D9考点：等差数列的前n项和 专题：计算题分析：在an为等差数列中，当m+n=p+q（m，n，p，qN+）时，am+an=ap+aq所以注意到a2+a8=2a5，再代入等差数列的前n项和的公式进行计算解答：解：a2+a8=2a5=4a5=2=18故选A点评：利用等差数列的基本性质可简化计算7（5分）双曲线=1的渐近线方程为（）Ay=xBy=xCy=xDy=x考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求解答：解：双曲线=1的a=4，b=3，由双曲线的渐近线方程y=x，则
11、所求渐近线方程为y=x故选B点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题8（5分）已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A若m，n，则mnB若，则C若m，m，则D若m，n，则mn考点：平面与平面平行的判定 专题：证明题分析：通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论解答：解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、， 垂直于同一个平面，故， 可能相交，可能平行，故B错误；C、，平行与同一条直线m，故， 可能相交，可能平行，故C错误；D、
12、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确故选 D点评：本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题9（5分）已知函数f（x）=x33x，若过点A（0，16）的直线方程为y=ax+16，与曲线y=f（x）相切，则实数a的值是（）A3B3C6D9考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题分析：设切点，求导函数可得切线方程，将A坐标代入，求得切线方程，从而可求实数a的值解答：解：设切点为P（x0，x033x0）f（x）=x33x，f（x）=3x23，f（x）=x33x在点P（x0，x033x0）处的切线方程为yx03+3x0=（3x02
13、3）（xx0），把点A（0，16）代入，得16x03+3x0=（3x023）（0x0），解得x0=2过点A（0，16）的切线方程为y=9x+16，a=9故选D点评：本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查导数的几何意义，正确确定切线方程是关键10（5分）已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A（，1）（1，+）B（，）（，+）C（，2）（2，+）D（，）（，+）考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题分析：设过A的直线方程，与抛物线方程联立，根据判别式求得k，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点，则当过点A（0，1）
14、和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，进而求得t的范围解答：解：如图，设过A的直线方程为y=kx1，与抛物线方程联立得x2kx+=0，=k22=0，k=2，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点为（，3），则当过点A（0，1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是（，）（，+），故选D点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法二、填空题（本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（第11至
15、13题为必做题，每道试题考生都必须作答）11（5分）已知sin（+）=，则sin2=考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦 专题：三角函数的求值分析：由条件根据sin2=cos（2+）=12，计算求得结果解答：解：sin（+）=，sin2=cos（2+）=12=1+2=，故答案为：点评：本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题12（5分）已知则z=3x+y的最大值为9考点：简单线性规划 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABO及其内部，再将目标函数z=3x+y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=0时，z=3x+y取得最大值为9解答
16、：解：作出不等式组表示的平面区域得到如图的AB0及其内部，其中A（3，0），B（，），O（0，0）设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值z最大值=F（3，0）=33+0=9故答案为：9点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题13（5分）阅读如图所示的程序框图 若输入n=5，则输出k的值为2考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，k的值，当n=148时满足条件n147，退出循环，输出k的
17、值为2，n的值为148解答：解：模拟执行程序框图，可得n=5，k=0n=16，不满足条件n147，k=1n=49，不满足条件n147，k=2n=148，满足条件n147，退出循环，输出k的值为2，n的值为148故答案为：2点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的n，k的值是解题的关键，属于基础题（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只计第14题的分）【坐标系与参数方程】14（5分）直线2cos=1与圆=2cos相交的弦长为考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：化极坐标方程为直角坐标方程，然后由直线和圆的位置关系求得弦长解答：解
18、：由2cos=1，可得直线方程为x=，由=2cos，得2=2cos，即x2+y2=2x，化为标准方程得（x1）2+y2=1如图，弦AB的长为故答案为：点评：本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了直线和圆的位置关系，是基础的计算题15如图，已知ABC内接于O，点D在OC的延长线上，AD切O于A，若ABC=30，AC=2，则AD的长为考点：三角形中的几何计算 专题：计算题；压轴题分析：根据已知可得AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长解答：解：（2）OA=OC，AOC=60，AOC是等边三角形，OA=AC=2，OAD=90，D=30，AD=AO=故答案为：点评：
19、本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30角的直角三角形的性质，本题是一个基础题三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（12分）已知函数f（x）=2cos（x），xR（1）求f（）的值；（2）若f（+）=，（，0），求f（2）的值考点：余弦函数的图象 专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）代入已知根据特殊角的三角函数值即可求值；（2）由已知化简可先求得sin，从而可求cos=，将f（2）=2cos（2）用两角差的余弦公式展开后代入即可求值解答：解：（1）f（）=2cos（）=2cos=（2）f（+
20、）=2cos（）=2sin=，sin（，0），cos=f（2）=2cos（2）=cos2+sin2=点评：本题主要考察了特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式的应用，考察了计算能力，属于基础题17（12分）为调查学生每周平均体育运动时间的情况，某校收集到2015届高三（1）班20位学生的样本数据（单位：小时），将他们的每周平均体育运动时间分为6组：0，2），2，4），4，6），6，8），8，10），10，12加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，求出该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值；（2）若在该班每周平均体育运动时间低于4小时的学生中任意抽取2人，求抽取到
21、运动时间低于2小时的学生的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 专题：概率与统计分析：（1）利用频率分布直方图，求出各组的频率，各组的中点数值，然后求解该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值（2）求出平均运动时间低于4小时的学生中，在0，2）的人数，在2，4）的人数，列出机抽取2人的可能情况有10种，其中，抽取到运动时间低于2小时的学生的可能情况有4种，求解概率解答：（1）解：根据频率分布直方图，各组的频率分别为：0.05，0.2，0.3，0.25，0.15，0.05，（2分）各组的中点分别为：1，3，5，7，9，11，（4分）该班学生的每周平均体育运动时间的
22、平均数的估计值为0.051+0.23+0.35+0.257+0.159+0.0511=4.45（6分）（2）依题意可知，平均运动时间低于4小时的学生中，在0，2）的人数有0.0520=1，记为1，在2，4）的人数有0.220=4，记为2，3，4，5，（8分）从这5人中随机抽取2人的可能情况有10种，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）； （10分）其中，抽取到运动时间低于2小时的学生的可能情况有4种，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）； （11分）故所求概率（12分）点评：本题考查古典
23、概型的概率的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力18（14分）如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，PAD为等腰直角三角形，APD=90，平面PAD平面ABCD，AB=1，AD=2，E，F分别是PC和BD的中点（1）证明：EF面PAD； （2）证明：面PDC面PAD；（3）求四棱锥PABCD的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（1）确定出EFAP，运用判断定理可证明（2）抓住CDAD，CD面PAD，运用面面垂直的定理可证明（3确定）PO为四棱锥PABCD的高求出PO=1，运用体积公式V=POABAD求解即
24、可解答：证明：（1）如图，连接AC，四边形ABCD为矩形且F是BD的中点，AC必过F，又E是PC中点，所以EFAP，EF在面PAD外，PA在面PAD内，EF面PAD证明：（2）平面PAD平面ABCD，CDAD，面PAD面ABCD=AD又AD面PAD，CD面PAD，又CD在面PCD内，面PCD面PAD解：（3）取AD中点O，连接PO，因为平面PAD平面ABCD及PAD为等腰直角三角形，所以PO面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高AD=2，PO=1，V=POABAD=点评：本题考查了空间直线，平面的垂直，平行问题，求解几何体的体积，属于中档题，关键是运用好定理，抓住条件19（14分）已知数列a
25、n的前n项和Sn满足an+1=2Sn+6，且a1=6（1）求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）设，证明：b1+b2+bn1考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（1）令n=1，由a1=S1，即可得到所求；（2）将n换成n1，两式相减，再结合等比数列的定义和通项公式，计算即可得到所求；（3）求出Sn，可得bn，再由裂项相消求和，计算即可得证解答：解：（1）当n=1时，a2=2S1+6=2a1+6=18，a2=18；（2）由an+1=2Sn+6，得an=2Sn1+6（n2）：得an+1an=2Sn2Sn1，即an+1=3an（n2），又a1=6，
26、a2=18，所以a2=3a1，数列an是以6为首项，公比为3的等比数列，；（3）证明：由（2）得：，故，=点评：本题考查数列的通项和求和，主要考查等比数列的通项和数列的求和方法：裂项求和，考查运算能力，属于中档题20（14分）如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上（）写出该抛物线的方程及其准线方程；（）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1+y2的值及直线AB的斜率考点：抛物线的应用 专题：计算题分析：（I）设出抛物线的方程，把点P代入抛物线求得p则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程（II）设直线PA的斜率为k
27、PA，直线PB的斜率为kPB，则可分别表示kPA和kPB，根据倾斜角互补可知kPA=kPB，进而求得y1+y2的值，把A，B代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB的斜率解答：解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为y2=2px点P（1，2）在抛物线上22=2p1，得p=2故所求抛物线的方程是y2=4x准线方程是x=1（II）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB则，PA与PB的斜率存在且倾斜角互补kPA=kPB由A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，得y12=4x1（1）y22=4x2（2）y1+2=（y2+2）y1+y2=4由（1）（2）得直线AB的斜率点评：本小题主要考
28、查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力21（14分）设函数f（x）=x3kx2+x（kR）（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）当k0时，求函数f（x）在k，k上的最小值m和最大值M考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的综合应用分析：（1）当k=1时，求出f（x）=3x22x+1，判断即可得到单调区间；（2）解法一：当k0时，f（x）=3x22kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）分0和0即可得出其单调性，进而得到其最值解法二：利用“作差法”比较：当k0时，对xk，k，f（x）f（k）及f（x）f（k）解答
29、：解：f（x）=3x22kx+1（1）当k=1时f（x）=3x22x+1，=412=80，f（x）0，f（x）在R上单调递增（2）当k0时，f（x）=3x22kx+1，其开口向上，对称轴，且过（0，1）（i）当，即时，f（x）0，f（x）在k，k上单调递增，从而当x=k时，f（x）取得最小值m=f（k）=k，当x=k时，f（x）取得最大值M=f（k）=k3k3k=2k3k（ii）当，即时，令f（x）=3x22kx+1=0解得：，注意到kx2x10，m=minf（k），f（x1），M=maxf（k），f（x2），f（x）的最小值m=f（k）=k，f（x）的最大值M=f（k）=2k3k综上所述，当k0时，f（x）的最小值m=f（k）=k，最大值M=f（k）=2k3k解法2：（2）当k0时，对xk，k，都有f（x）f（k）=x3kx2+xk3+k3k=（x2+1）（xk）0，故f（x）f（k）f（x）f（k）=x3kx2+x+k3+k3+k=（x+k）（x22kx+2k2+1）=（x+k）（xk）2+k2+10，故f（x）f（k），而 f（k）=k0，f（k）=2k3k0所以 ，f（x）min=f（k）=k点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性、分类讨论思想方法、作差法比较两个数的大小等是解题的关键
