1、邹城一中2017级数学自测试题一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 的虚部为【答案】B【解析】【分析】计算化简出复数，即可得出虚部，再依次求出模长，共轭复数，平方即可选出选项【详解】由题：，所以：，的虚部为.故选：B【点睛】此题考查复数的基本运算和基本概念的辨析，对基础知识考查比较全面，易错点在于虚数单位的平方运算和虚部的辨析.2. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出集合A集合B范围，根据得到A是B子集，根据范围大小得到答案.【详解】所以 故答
2、案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.3. 已知，且，则的值为（）A. -7B. 7C. 1D. -1【答案】B【解析】【分析】由了诱导公式得，由同角三角函数的关系可得，再由两角和的正切公式，将代入运算即可.【详解】解：因为，所以，即，又 ，则，解得= 7，故选B.【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.4. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据对数不等式的性质解得，利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】ln（x+1）00x+111x0
3、，1x0，但时，不一定有1x0，如x=-3，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查对数不等式的性质，属于基础题5. “总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分
4、析】有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n3481，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，则可得他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率【详解】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n3481，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6. 已知、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析
5、】【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m的范围，通过判断a，b，c，d的范围，得到满足条件的概率值即可【详解】f（x）x2+2mx+1，若函数f（x）有极值点，则f（x）有2个不相等的实数根，故4m240，解得：m1或m1，而alog0.552，0blog321、c20.31，0d（）21，满足条件的有2个，分别是a，c，故满足条件的概率p，故选：B【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，是一道中档题7. 已知定义在上奇函数，满足时，则的值为（ ）A. -15B. -7C. 3D. 15【答案】A【解析】【分析】根据奇函数定义域关于原点中心对
6、称,可求得的值.根据奇函数性质,即可求得的值.【详解】因为奇函数的定义域关于原点中心对称则,解得因为奇函数当时,则故选:A【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.8. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】抛物线方程中：令可得，即，结合抛物线的光学性质，AB经过焦点F，设执行AB的方程为，与抛物线方
7、程联立可得：，据此可得：，且：，将代入可得，故，故,故ABM的周长为,本题选择D选项.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 下列判断正确的是（ ）A. 若随机变量服从正态分布，则；B. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件；C. 若随机变量服从二项分布：,则；D. 是的充分不必要条件.【答案】ABCD【解析】【分析】由随机变量服从正态分布N（1，2），则曲线关于x1对称，即可判断A；结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断可判断B；运用二项分布的期望公式Enp，即可判断C；可根据充分必要条件的定义，注意m0，即可判断D【
8、详解】A已知随机变量服从正态分布N（1，2），P（4）0.79，则曲线关于x1对称，可得P（4）10.790.21，P（2）P（4）0.21，故A正确；B若，直线l平面，直线l，m，lm成立若lm，当m时，则l与的位置关系不确定，无法得到“”是“lm”的充分不必要条件故B对；C由于随机变量服从二项分布：B（4，），则E40.251，故C对；D“am2bm2”可推出“ab”，但“ab”推不出“am2bm2”，比如m0，故D对；故选：ABCD【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，考查随机变量的二项分布的期望公式及正态分布的对称性，属于基础题10. 由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动
9、包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测结合图，下列说法不正确的是（ ）A. 5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势【答案】C【解析】【分析】由柱状图观察信息服务商逐年增长并后续2029年开始超过设备制造商GDP.【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济
10、产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误故选：C【点睛】本题考查观察柱状图得出相关信息，属于基础题.11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）A. 是的极大值点B. 函数有且只有1个零点C. 存在正实数，使得成立D. 对任意两个正实数，且，若，则.【答案】BD【解析】【分析】根据导数解决函数的的极值，零点，不等式等问题依次讨论选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数 ，时，函数单调递减，时，函数单调递增，是的极小值点，故A错误；对于B选项， 函数在上单调递减，又 ， 函数有且只有1个零点，故B正确；对于C选项，若，可得，令，则，令，则，
11、在上，函数单调递增，上，函数单调递减，在上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数，使得成立，故C错误；对于D选项，由，可知，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确.综上，故正确的是BD.故选：BD【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，零点，不等式等问题，考查数学运算能力与分析解决问题的能力，是难题.12. 已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A. 函数的值域与的值域不相同B. 把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象C. 函数和在区间 上都增函数D. 若为是函数的极值点，则是
12、函数的零点【答案】CD【解析】【分析】求导得解析式，利用辅助角公式化简整理成形式，利用函数求值域、单调性逐一判断选项即可.【详解】，函数的值域与的值域均为，故A错误；函数的图象向右平移个单位长度，得，不是的图像，故B错误；时，是单调递增函数，是单调递增函数，故C正确；为是函数的极值点，则，即是函数的零点，故D正确.故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数的性质，属于常考题.三、填空题：本题共4小题.13. 若非零向量、,满足,则与的夹角为_.【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，由题意得，由此求得的值，即可得到与的夹角的大小.【详解】设与的夹角为，由题意,，可得，所以，再由可得，故答案是.【点睛
13、】该题考查的是有关向量夹角的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量垂直的条件为向量的数量积等于零，向量数量积的运算公式，向量夹角余弦公式，特殊角的是哪家函数值，正确应用公式是解题的关键.14. 双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为_.【答案】【解析】【分析】根据切线长定理求出MF1MF2，即可得出a，从而得出双曲线的离心率【详解】设MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，由切线长定理可知MAMB，PAPQ，BF2QF2，又PF1PF2，MF1MF2（MA+AP+PF1）（MB+BF2）PQ+PF2QF22PQ，由
14、双曲线的定义可知MF1MF22a，故而aPQ，又c2，双曲线的离心率为e故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键15. 设（1）当时，f（x）的最小值是_；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是_【答案】 (1). (2). 0，【解析】【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对分两种情况讨论，若a0，不满足条件若a0，f（0）a22，即0a，即得解.【详解】（1）当时，当x0时，f（x）（x）2（）2，当x0时，f（x）x22，当且仅当x1时取
15、等号，则函数的最小值为，（2）由（1）知，当x0时，函数f（x）2，此时的最小值为2，若a0，则当xa时，函数f（x）的最小值为f（a）0，此时f（0）不是最小值，不满足条件若a0，则当x0时，函数f（x）（xa）2为减函数，则当x0时，函数f（x）的最小值为f（0）a2，要使f（0）是f（x）的最小值，则f（0）a22，即0a，即实数a的取值范围是0，【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16. 已知函数.若函数在上无零点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】因为f（x）0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）
16、在（0，）上无零点，只要对任意的x（0，），f（x）0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值【详解】因为在区间上恒成立不可能，故要使函数在上无零点，只要对任意的，恒成立，即对任意的，恒成立.令，则，再令，则，故在上为减函数，于是，从而，于是在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要，综上，若函数在上无零点，则的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和参变量分离的方法以及运算求解的能力，属于中档题四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，角，的对边
17、分别为，已知.（1）若，的面积为，求，的值；（2）若，且角为钝角，求实数的取值范围.【答案】（1），或，（2）【解析】【分析】先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出cosA、sinA的值；（1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出b、c的值；（2）利用正弦定理和余弦定理，结合角为钝角，求出k的取值范围【详解】ABC中，4acosAccosB+bcosC，4sinAcosAsinCcosB+sinBcosCsin（C+B）sinA，cosA，sinA；（1）a4，a2b2+c22bccosAb2+c2bc16；又ABC的面积为：SABCbcsinAbc，bc8；由组成方
18、程组，解得b4，c2或b2，c4；（2）当sinBksinC（k0），bkc，a2b2+c22bccosA（kc）2+c22kcc（k2k+1）c2；又C为钝角，则a2+b2c2，即（k2k+1）+k21，解得0k；所以k的取值范围是【点睛】主要考查了同角三角函数的基本关系式，三角恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用问题，是综合性题目18. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积（
19、单位：亩）12345管理时间（单位：月）810132524并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关？（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求的分布列及数学期望参考公式：其中临界值表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828参考数据
20、：【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）分别求出，从而，求出，从而得到管理时间与土地使用面积线性相关（2）完善列联表，求出，从而有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3）的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出的分布列和数学期望【详解】解：依题意：故则，故管理时间与土地使用面积线性相关（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得的观测值为故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3
21、）依题意，的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故故的分布列为X0123P则数学期望为（或由，得【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等19. 已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据与的关系，利用临差法得到，知公差为3；再由代入递推关系求；（2）观察数列的通项公式，相邻两项的和有规律，故采用并项求和法，求其前项和.【详解】（1）对任意，有，当时，有
22、，解得或.当时，有.-并整理得.而数列的各项均为正数，.当时，此时成立；当时，此时，不成立，舍去.，.（2）.【点睛】已知与的递推关系，利用临差法求时，要注意对下标与分两种情况，即；数列求和时要先观察通项特点，再决定采用什么方法.20. 如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为 的垂心（1）求证：平面平面 ；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）. 【解析】试题分析：（1）延长交于点，由重心性质及中位线性质可得，再结合圆的性质得，由已知，可证 平面，进一步可得平面平面（2）以点为原点，方向分别为，轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹
23、角间的关系可求二面角的余弦值试题解析：（1）如图，延长交于点.因为为的重心，所以为的中点.因为为的中点，所以.因为是圆的直径，所以，所以.因为平面，平面，所以.又平面，平面=，所以 平面.即平面，又平面，所以平面 平面.（2）以点为原点，方向分别为，轴正方向建立空间直角坐标系，则，则，.平面即为平面，设平面的一个法向量为，则令，得.过点作于点，由平面，易得，又，所以平面，即为平面的一个法向量.在中，由，得，则，.所以，.所以.设二面角的大小为，则 .点睛：若分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足，二面角的平面角的大小是的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)在利用向量求空间角时，建立
24、合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.（1）求的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.【答案】（1）,； （2）存在点，且.【解析】【分析】（1）由已知条件得，即可计算出离心率和椭圆方程（2）假设存在点，分别求出直线的斜率不存在、直线的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果【详解】（1）由题意可知，则，又的周长为8，所以，即，则，.故的方程为.（2）假设存在点，使得为定值.若直线的斜率不存在，直线的方程为，则.若直线的斜率存在，设
25、的方程为，设点，联立，得，根据韦达定理可得：，由于，则 因为为定值，所以，解得，故存在点，且.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握22. 设函数，.（1）若，求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线与直线平行.求，的值；求实数取值范围，使得对恒成立.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）；.【解析】【分析】（1）求出后讨论其符号可得函数的单调区间.（2）根据函数在处切线的斜率可得，构建新函数，就分类讨论的单调性后可得的取值范围.【详解】（1）当，时，则.当时，；当时，；所以的单调增区间为，单调减区间为.（）（）因为，所以.依题设有，即.解得.（）由（）得，.对恒成立即对恒成立.令.则有.当时，当时，所以在上单调递增.所以，即当时，恒成立；当时，当时，所以在上单调递减，故当时，即当时，不恒成立.综上，.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性以及不等式的恒成立，前者利用导数的符号的正负来说明，后者需构造新函数，通过新函数的最值来讨论，本题属于难题.
