1、北京市平谷区2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1已知集合Ax|1x3，集合Bx|x1，那么AB（）A（1，3）B（1，3）C（1，1）D（1，+）2已知ab，c0，那么（）AB|a|b|CDacbc3已知f（x），那么f（）（）AB0CD4在（x+）7展开式中，含x项的系数为（）A42B35C21D355已知等差数列an，a2+a410，a3+a58，那么数列an前6项和S6为（）A54B40C12D276已知函数yf（x）的导函数图像，如图所示，那么函数yf（x）（）A在（，1）上单调递增B在x0处取得极小值C在x1处切线
2、斜率取得最大值D在x2处取得最大值7由0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是（）A180B156C108D588某商场举行”五一购物抽奖”活动，已知各奖项中奖率分别是：一等奖为，二等奖为，三等奖为，四等奖为，其余均为纪念奖某顾客获得2次抽奖机会，那么该顾客至少抽得一次三等奖的概率为（）ABCD9“a0”是“函数f（x）exax在区间（0，+）上为单调增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10为参加市级技能大赛，某公司举办技能选拔赛，参加活动的员工需要进行两项比赛如表是报名的10名员工的各项比赛成绩（单位：分），其中有三个数据模糊 员
3、工编号12345678910项目一成绩96929290888685848078项目二成绩8178a837877a1b7570已知两项成绩均排在前7名的只有5人，公司决定派出这5名员工代表公司参加市级比赛，则下面说法正确的是（）A2号员工参加市级比赛B3号员工参加市级比赛C7号员工参加市级比赛D8号员工参加市级比赛二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11（2x）6的展开式各项系数之和为 12已知各项均为正项的等比数列an，q，a3a525，则a8 13命题“x0R，x022x0+30”，此命题的否定是 命题（填“真”或“假”）14已知不等式ax+8对任意正实数x恒成立，那么正实数a的最小
4、值为 15“六一儿童节”到了!某演出团在电影院安排了3场演出已知第一场有19人出演，第二场有20人出演，第三场有18人出演，且前两场同时出演的人数是10人，后两场同时出演的人数是8人，那么参加此次演出活动的人数至少有 人三、解答题（本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16已知数列an，其前n项和为Sn，满足_（）求数列an通项公式；（）当Sn100时，求n的最大值请你从a11，an+1an+4；Sn2an1；a11，an+1+an2中选择一个，补充在上面的问题中并作答17口袋中装有除颜色外完全相同的10个球，其中黄球6个，红球4个从中不放回的摸3次球，每次摸出一个球
5、（）求至少摸到2个红球的概率；（）若共摸出2个红球，求第三次恰好摸到红球的概率18已知函数f（x）x23x+lnx（）求曲线yf（x）在点（3，f（3）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间，并判断函数f（x）的零点个数19近期，某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如表：成绩50，60）60，70）70，80）80，90）90，100男生（人数）25891女生（人数）ab1032（）在轴取的50名学生中，从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率；（）从该校参
6、加活动的男学生中随机抽取3人，设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小（只写出结论，不需要说明理由）20已知函数f（x）xe2x（）求函数f（x）的极值；（）设函数g（x）ax2+ax1（a），若x（1，+），有f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围21在递增数列an中，anN*，设mN*，记使得anm成立的n的最小值为bm（）设数列an为1，3，4，5，写出b1，b2，b3，b4的值；（）若an2n1，求b1+b2+b3+.+b100的值；（）若an2n1，求数列bm的前2m项和公式参考答案一、选择题（共1
7、0小题）.1已知集合Ax|1x3，集合Bx|x1，那么AB（）A（1，3）B（1，3）C（1，1）D（1，+）解：因为集合Ax|1x3，集合Bx|x1，所以ABx|1x3故选：B2已知ab，c0，那么（）AB|a|b|CDacbc解：若ab0，可得，故A错误；取a2，b4，可得|a|b|，故B错误；若a0b，可得，又c0，可得，故C错误；若ab，c0，可得acbc，故D正确故选：D3已知f（x），那么f（）（）AB0CD解：，故选：A4在（x+）7展开式中，含x项的系数为（）A42B35C21D35解：（x+）7展开式的通项公式为 Tr+1x72r，令72r1，求得r3，可得含x项的系数为35
8、，故选：B5已知等差数列an，a2+a410，a3+a58，那么数列an前6项和S6为（）A54B40C12D27解：等差数列an，a2+a410，a3+a58，解得a17，d1，数列an前6项和S6671527故选：D6已知函数yf（x）的导函数图像，如图所示，那么函数yf（x）（）A在（，1）上单调递增B在x0处取得极小值C在x1处切线斜率取得最大值D在x2处取得最大值解：由图像可得x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，x1时，f（x）0，x（1，2）时，f（x）0，f（x）单调递增，x2时，f（x）0，x（2，+）时，f（x）0，f（x）单调递减，所以在x1处f（x）取得极小值，在
9、x2处f（x）取得极大值，f（x）无最大值和最小值，结合选项可知A，B，D错误，由图像可知当x1时，f（x）取得最大值，即f（x）在x1处切线斜率取得最大值，故C正确故选：C7由0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是（）A180B156C108D58解：根据题意，分2种情况讨论：0在四位数的个位，在剩下5个数字中任选3个，放在前3个数位即可，有A5360个四位偶数，2或4在四位数的个位，四位偶数的千位数字有4种可能，在剩下4个数字中任选2个，放在中间的2个数位即可，有24A4296个四位偶数，则有60+96156个四位偶数；故选：B8某商场举行”五一购物抽奖”活动，已知各
10、奖项中奖率分别是：一等奖为，二等奖为，三等奖为，四等奖为，其余均为纪念奖某顾客获得2次抽奖机会，那么该顾客至少抽得一次三等奖的概率为（）ABCD解：由题意，一等奖为，二等奖为，三等奖为，四等奖为，其余均为纪念奖，2次抽奖中，至少抽得一次三等奖，有两种情况：两次中有一次抽到三等奖；两次均抽到三等奖故该顾客至少抽得一次三等奖的概率为故选：C9“a0”是“函数f（x）exax在区间（0，+）上为单调增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：若函数f（x）exax在区间（0，+）上为单调增函数，则f（x）exa0在区间（0，+）上恒成立，a（ex）min，x（0
11、，+），a1，（，0（，1，a0是函数f（x）exax在区间（0，+）上为单调增函数的充分不必要条件，故选：A10为参加市级技能大赛，某公司举办技能选拔赛，参加活动的员工需要进行两项比赛如表是报名的10名员工的各项比赛成绩（单位：分），其中有三个数据模糊 员工编号12345678910项目一成绩96929290888685848078项目二成绩8178a837877a1b7570已知两项成绩均排在前7名的只有5人，公司决定派出这5名员工代表公司参加市级比赛，则下面说法正确的是（）A2号员工参加市级比赛B3号员工参加市级比赛C7号员工参加市级比赛D8号员工参加市级比赛解：由题意可得，项目一成绩在
12、前7名的是编号1，2，3，4，5，6，7，故选项C，D错误；因为两项成绩均排在前7名的只有5人，故编号1，2，3，4，5，6，7项目二成绩只有5个人在前7名，若a72，则a171，故编号3的员工项目二成绩不在前7，故选项B错误，编号2的员工两项成绩均排在前7名，故选项A正确故选：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11（2x）6的展开式各项系数之和为 1解：令x1，可得（2x）6的展开式各项系数之和为1，故答案为：112已知各项均为正项的等比数列an，q，a3a525，则a8解：由an是等比数列，得aa3a525，解得a45或a45（舍去），所
13、以a8a4q45（）4故答案为：13命题“x0R，x022x0+30”，此命题的否定是 真命题（填“真”或“假”）解：因为x22x+3（x1）2+20恒成立，所以不存在x0R，x022x0+30，故命题“x0R，x022x0+30”为假命题，所以它的否定为真命题故答案为：真14已知不等式ax+8对任意正实数x恒成立，那么正实数a的最小值为 16解：因为不等式ax+8对任意正实数x恒成立，所以ax28x+10，对任意正实数x恒成立，当a0时，不等式8x+10，即x，不符合对任意正实数x恒成立，当a0时，令f（x）ax28x+1，若对任意正实数x恒成立，则无解，或，解得a16，所以正实数a的最小值
14、为16故答案为：1615“六一儿童节”到了!某演出团在电影院安排了3场演出已知第一场有19人出演，第二场有20人出演，第三场有18人出演，且前两场同时出演的人数是10人，后两场同时出演的人数是8人，那么参加此次演出活动的人数至少有 30人解：利用Venn图分析，第一场演出用红色表示，第二场演出用蓝色表示，第三场演出用黄色表示（三场演出均用椭圆形表示，重复部分为避免看不清，所以没有涂色）则参与此次演出人数最少的情况是：则参加此次演出活动人数最少为30人故答案为：30三、解答题（本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16已知数列an，其前n项和为Sn，满足_（）求数列an
15、通项公式；（）当Sn100时，求n的最大值请你从a11，an+1an+4；Sn2an1；a11，an+1+an2中选择一个，补充在上面的问题中并作答解：选：（ I）因为an+1an+4，即an+1an4，所以数列an是首项为1，公差为4的等差数列 所以数列an通项公式an4n3，（ II）因为S，当Sn100，即2n2n100，解得0n7，所以n的最大值为7 选：（ I）因为Sn2an1，所以当n1时，S12a11，即a11，又Sn12an11（n2），两式相减，得：当n2时，SnSn1（2an1）（2an11），整理得an2an1（n2），即数列an是首项为1，公比为2的等比数列所以数列an
16、通项公式a （ II）因为S，当Sn100，即2n1100，解得0n6，所以n的最大值为6 选：（）因为an+1+an2，所以an+an12（n2）两式相减得an+1an10（n2），即an+1an1（n2），又因为a1a21所以数列an是常数列所以数列an的通项公式为an1（）因为数列an是常数列所以Snn，当Sn100，即n100，所以n的最大值为100 17口袋中装有除颜色外完全相同的10个球，其中黄球6个，红球4个从中不放回的摸3次球，每次摸出一个球（）求至少摸到2个红球的概率；（）若共摸出2个红球，求第三次恰好摸到红球的概率解：（ I）设“至少摸到2个红球”为事件A，设“摸到2个红球
17、“为事件B，“摸到3个红球”为事件C，因为事件B与事件C互斥，所以ABC，所以，P（C），故P（A）P（BC）P（B）+P（C）；（ II）设“第三次恰好摸到红球”为事件D，事件D即为“在前2次中只摸到一个红球，第三次摸到第二个红球”，则有种情况，摸三次球，样本空间，所以P（D），即第三次恰好摸到红球的概率为18已知函数f（x）x23x+lnx（）求曲线yf（x）在点（3，f（3）处的切线方程；（）求函数f（x）的单调区间，并判断函数f（x）的零点个数解：（）函数定义域为（0，+），f（3）ln3，切点为（3，ln3），又f（x）2x3+，f（3），即切线斜率为k，切线方程是y，即10x3y+
18、3ln3300；（）令f（x）0，解得，x21， x（0，） （，1）1（1，+） f（x）+0_0+ f（x）极大值极小值如表格，函数f（x）的单调增区间是（0，）和（1，+），单调减区间是（，1），又函数f（x）的极大值f（）0，当0x1时f（x）0恒成立，而函数f（x）在区间（1，+）上单调递增，f（1）0，f（3）ln30，存在x0（1，3），使得f（x0）0，即函数f（x）只有一个零点19近期，某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各25名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如表：成绩50，60）60，70）70，80）80，90）90，10
19、0男生（人数）25891女生（人数）ab1032（）在轴取的50名学生中，从大赛成绩在80分以上的人中随机取出2人，求恰好男、女生各1名，且所在分数段不同的概率；（）从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，设这3人中大赛成绩在80分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；（）试确定a、b为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小（只写出结论，不需要说明理由）解：（ I）设“从大赛成绩在80（分）以上的人中随机取出2人，恰好男、女生各1名，且所在分数段不同”为事件A，由表格可得，随机抽取的50名学生中，成绩在80（分）以上的男生人数是10人，女生5人，共15人，即从15名学生中随机抽取2人，所以样本
20、空间；如果这2人恰好男、女生各1名，且分数段不同，即，所以事件A包含21个样本点，故P（A）；（II）由数据可知，从抽取的25名男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80（分）以上的概率为，即从该校参加活动的男学生中随机抽取1人，该学生大赛成绩在80（分）以上的概率，因此从该校参加活动的男学生中随机抽取3人，这3人中大赛成绩在80（分）以上的人数X的可能取值为0，1，2，3，又XB（3，），所以P（X0），P（X1），P（X20，P（X3），所以随机变量X的分布列为：X0123P数学期望E（X）0+1+2+3；（）a0，b1020已知函数f（x）xe2x（）求函数f（x）的极值；（）设函数g（
21、x）ax2+ax1（a），若x（1，+），有f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围解：（）f（x）xe2x，则f（x）e2x（1+2x），令f（x）0，x，所以x，f（x）0，即f（x）在区间（，）上单调递减；x，f（x）0，即f（x）在区间（，+）上单调递增；所以函数f（x）有极小值f（），无极大值（II）因为x（1，+），有f（x）g（x）恒成立，设函数H（x）f（x）g（x）xe2xax2ax+1（x1），则H（x）0恒成立因为H（x）e2x（1+2x）2axa（1+2x）（e2xa），当a0时，e2xa0，令H（x）0，可得x，所以H（x）0，得x；H（x）0，得1x，即H（x）在
22、区间（1，）上单调递减，在区间（，+）上单调递增因此函数H（x）在x时有最小值，当H（）1+0，即4a0时，函数H（x）0在区间（1，+）恒成立当0a时，令H（x）0，x1lna，x2；当a，即x1x2时，H（x）0恒成立，即函数H（x）在区间（1，+）单调递增所以函数H（x）H（1）1e20，满足条件当0a，即x1x2时，H（x）0，xlna，x；H（x）0，lnax，若lna1，即0a时，H（x）在区间（1，）上单调递减，在区间（，+）上单调递增函数H（x）在x时有最小值，而H（）1+0恒成立所以满足条件若lna1即a时，H（x）在区间（lna，）上单调递减，在区间（1，lna），（，+）
23、上单调递增而H（1）1e20，H（）1+0，所以函数H（x）0在区间（1，+）恒成立综上，当4a时，函数H（x）0在区间（1，+）恒成立21在递增数列an中，anN*，设mN*，记使得anm成立的n的最小值为bm（）设数列an为1，3，4，5，写出b1，b2，b3，b4的值；（）若an2n1，求b1+b2+b3+.+b100的值；（）若an2n1，求数列bm的前2m项和公式解：（）令an1时，n的最小值b11，令an2时，n的最小值b22，令an3时，n的最小值b32，令an4时，n的最小值b43（）由，即数列an是首项为1，公比为2的等比数列所以使得anm成立的n的最小值bm为：b11，b22，b3b43，b5b6b7b84，b9b10b11b12b13b14b15b165，b17b18.b326，b33b34.b647，b65b66.b1008，所以：b1+b2+.+b1001+2+23+44+85+166+328673（）由题意an2n1，对于正整数，由anm，得根据bm的定义可知：当m2k1时，bmk；当m2k时，bmk+1b1+b2+b3+.+bm（b1+b3+.+b2m1）+（b2+b4+.+b2m），（1+2+3+.+m）+2+3+4+.+（m+1），m2+2m
