1、北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷（理工类） 2012.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集, 集合, , 则()等于（ ）A B C D2. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则等于（ ）A B C D3.已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ）A B C D4.曲线在处的切线方程为（ ）ABCD5.在中，是的中点，点在上，且满足，则的值为（ ）A
2、 B C D 6.函数的图象与函数的图象的交点个数是（ ）ABCD7.函数是定义域为的可导函数，且对任意实数都有成立若当时，不等式成立，设，则，的大小关系是（ ）A B C D8.已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列.对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在上的如下函数：， ， ， ，则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）A B C D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.设集合，B =,则 .10.设是等差数列的前项和若，则公差 ， .11.已知角的终边经过点，则 ， .12. 在中，
3、若，的面积为，则角 .13. 已知函数满足：（），且则 （用表示），若，则 .14.已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）设的内角所对的边分别为，已知 （）求的面积；（）求的值16.（本小题满分14分）设数列的前项和为.已知，.（）写出的值，并求数列的通项公式；（）记为数列的前项和，求； （）若数列满足，求数列的通项公式.17.（本小题满分13分）函数部分图象如图所示（）求函数的解析式，并写出其单调递增区间；（）设函数，求函数在区间 上的最大值和最小值18.（本小题满分13分）
4、已知函数，.（）当时，求函数在上的最大值；（）如果函数在区间上存在零点，求的取值范围. 19.（本小题满分14分）设函数， （）求函数的单调区间；（）当时，若对任意，不等式成立，求的取值范围；（）当时，设，试比较与的大小并说明理由20.（本小题满分13分）给定一个项的实数列，任意选取一个实数，变换将数列变换为数列，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数可以不相同，第次变换记为，其中为第次变换时选择的实数.如果通过次变换后，数列中的各项均为，则称， ，为 “次归零变换”.（）对数列：1,3,5,7，给出一个 “次归零变换”，其中；（）证明：对任意项数列
5、，都存在“次归零变换”；（）对于数列，是否存在“次归零变换”？请说明理由.北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期高三年级期中练习 数学试卷答案（理工类） 2012.11一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DC BDACA C二、填空题： 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案2或1（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）解：（）在中，因为，所以 2分所以， 5分（）由余弦定理可得， 所以， 7分 又由正弦定理得，所以， 9分因为，所以
6、为锐角,所以， 11分所以， 13分16. （本小题满分14分）解：（）由已知得，. 2分由题意，则当时，.两式相减，得（）. 3分又因为，所以数列是以首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式是（）. 5分（）因为，所以， 6分两式相减得， 8分整理得， (). 9分（） 当时，依题意得, , .相加得，. 12分依题意.因为，所以（）.显然当时，符合.所以(). 14分17. （本小题满分13分）解：（）由图可得，所以，所以 2分 当时，可得 ，因为，所以 4分 所以函数的解析式为5分函数的单调递增区间为7分（）因为 8分. 10分因为，所以当，即时，函数有最大值为； 12分当，即时，函
7、数有最小值 13分18. （本小题满分13分）解：（）当时，则因为，所以时，的最大值3分（）当时， ,显然在上有零点, 所以时成立.4分当时，令, 解得 5分（1） 当时, 由，得； 当 时,由，得，所以当 时, 均恰有一个零点在上.7分（2）当，即时，在上必有零点. 8分（3）若在上有两个零点, 则或 12分解得或综上所述，函数在区间上存在极值点，实数的取值范围是或. 13分19. （本小题满分14分）解：函数的定义域为. 1分（）由题意， 2分（1）当时，由得，解得，函数的单调递减区间是；由得，解得，函数的单调递增区间是 4分（2）当时，由于，所以恒成立，函数的在区间上单调递减 5分（）因
8、为对于任意正实数，不等式成立，即恒成立因为，由（）可知当时，函数有最小值7分所以，解得 故所求实数的取值范围是 9分（）因为，. 10分所以（1）显然，当时， 11分（2）当时，因为且，所以，所以12分又， 所以所以，即 综上所述，当时，；当时， 14分20. （本小题满分13分）解：（）方法1：3,1,1,3;：1,1,1,1;：0,0,0,0方法2：1,1,3,5;：1,1,1,3;：1,1,1,1；：0,0,0,04分（）经过次变换后，数列记为，取,则，即经后，前两项相等；取，则，即经后，前3项相等； 设进行变换时，其中，变换后数列变为，则； 那么，进行第次变换时，取，则变换后数列变为，
9、显然有； 经过次变换后，显然有；最后，取，经过变换后，数列各项均为0.所以对任意数列，都存在 “次归零变换” 9分（）不存在“次归零变换”. 10分证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换时，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行后，再进行，由，即等价于一次变换，同理，进行某一步时，；此变换步数也不是最小由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的满足 以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“次归零变换” （1）当时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立（由（）可知，存在 “两次归零变换”变换：）（2）假设时成立，即不存在“次归零变换”当时，假设存在“次归零变换”此时，对也显然是“次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知不存在“次归零变换”，则是最少的变换次数，每一次变换一定满足，因为所以，绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾所以，当时不存在“次归零变换” 由（1）（2）命题得证 13分
