1、2022年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷数学试卷 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合，则( )A.B.C.D.2.已知a，（i为虚数单位），则( )A.，B.，C.，D.，3.若实数x，y满足约束条件则的最大值是( )A.20B.18C.13D.64.设，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：）是( )A.B.C.D.6.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的
2、点( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度7.已知，则( )A.25B.5C.D.8.如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱BC，上的点.记EF与所成的角为，EF与平面ABC所成的角为，二面角的平面角为，则( )A.B.C.D.9.已知a，若对任意，则( )A.，B.，C.，D.，10.已知数列满足，则( )A.B.C.D.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。11.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如
3、果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边，则该三角形的面积_.12.已知多项式，则_，_.13.若，则_，_.14.已知函数，则_；若当时，则的最大值是_.15.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则_，_.16.已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且.若，则双曲线的离心率是_.17.设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_.三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（14分
4、）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.（）求的值；（）若，求的面积.19.（15分）如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，二面角的平面角为60.设M，N分别为AE，BC的中点.（）证明：；（）求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.20.（15分）已知等差数列的首项，公差.记的前n项和为.（）若，求；（）若对于每个，存在实数，使，成等比数列，求d的取值范围.21.（15分）如图，已知椭圆.设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段AB上，直线PA，PB分别交直线于C，D两点.（）求点P到椭圆上点的距离的最大值；（）求的最小值.22.（15分）设函数.（）求的单调区间；（）已知a，
5、曲线上不同的三点，处的切线都经过点.证明：（）若，则；（）若，则.（注：是自然对数的底数）参考答案1.答案：D解析：由集合并集的定义，得，故选D.2.答案：B解析：，则由，得，故选B.3.答案：B解析：解法一：作出不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线，由图知，当直线经过点时目标函数取得最大值，即，故选B.解法二：由得，此时；由，得，此时；由，得，此时.综上所述，的最大值为18，故选B.4.答案：A解析：解法一：由，得，则，故充分性成立；又由，得，而或-1，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.解法二：由，得，则，故充分性成立；又，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要
6、条件，故选A.5.答案：C解析：由三视图知，该几何体是由半球体、圆柱体、圆台组合而成的，其中半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为2，圆台的上、下底面的半径分别为1和2，高为2，所以该几何体的体积为，故选C.6.答案：D解析：因为，所以要得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，故选D.7.答案：C解析：由两边取以2为底的对数，得.又，所以，所以，故选C.8.答案：A解析：由题意设.当点E，F分别与点B，重合时（如图1），连接，EF与所成的角为，即，所以.因为平面ABC，所以EF与平面ABC所成角为，即，所以.取BC的中点G，连接FG，AG，则由为正三角形知.又由平面AB
7、C，知.又，所以平面，所以，所以二面角的平面角为，即，易知，所以，所以，此时有.当点F与点重合且点E为BC中点时（如图2），连接AE，.易知EF与所成的角为，即；EF与平面ABC所成角为，即；二面角的平面角为，即.因为在中，即，所以.综合上面E，F的两种特殊位置知，故选A.9.答案：D解析：由题知可以结合选项使用排除法求解.取，则，解得，不符合题意，所以不成立，排除A，B；当时，取，则，解得，不符合题意，所以不成立，排除C.故选D.10.答案：B解析：因为，所以，易知，所以有，所以可得.由，可得，即.一方面，由，累加可得（*），所以，从而.另一方面，由（*）式可得，所以，又，所以，由，累加可得
8、，所以，所以.综上可知，.故选B.11.答案：解析：因为，所以.12.答案：8；-2解析：由多项式展开式可知，.令可得，令可得，所以.13.答案：；解析：因为，所以，所以，其中，.所以，所以，所以，.因为，所以.14.答案：；解析：由题意知，则.作出函数的图象，如图所示，结合图象，令，解得；令，解得，又，所以，所以.15.答案：；解析：由题意知.的可能取值为1,2,3,4，所以的分布列为1234P.16.答案：解析：结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点且斜率为的直线的方程为，由，解得，所以.因为，所以，即，得，所以，将代入双曲线方程，可得，结合离心率得，又，所以双曲线的离心率为.17.
9、答案：解析：如图，连接OP，根据题意及向量加法的平行四边形法则可得，易知与反向共线，所以，同理得，所以，在中，易知，所以，所以的取值范围为.18.答案：（）（）22解析：（）由正弦定理，得.因为，所以，又，所以.（）由（）知，因为，所以，所以，所以.因为，即，所以，所以.19.答案：（）见解析（）解析：（）因为ABCD是直角梯形，所以，即，因为CDEF是直角梯形，所以，即.如图，在AB边上作，连接DH，易得，在中，因为，所以，.在DC边上作，连接EG，易得，在中，因为，所以，.易知二面角的平面角为，又，故为等边三角形，又N为BC的中点，所以.因为，所以平面BCF.又平面BCF，所以.因为，故平
10、面ABCD，又平面ABCD，故.（）如图，取AD的中点K，连接NK，以N为坐标原点，以NK，NB，NF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，.设平面ADE的法向量为，则，即，取，则，即是平面ADE的一个法向量.设直线BM与平面ADE所成角为，因为，所以.20.答案：（）（）解析：（）因为在等差数列中，所以，整理得，解得（舍去）或，所以，即.（）由（）知，所以，.因为，成等比数列，所以，整理得.由题意知关于的二次方程有解，所以在上恒成立，将，代入上式，并整理得（*）.因为，所以当时，不等式（*）等价于，恒成立；当时，不等式（*）等价于，则当时，不等式恒成立；当时，不等式（*）恒成立，
11、综上可知，d的取值范围是.21.答案：（）（）解析：（）设是椭圆上任意一点，由，知，故的最大值是，即点P到椭圆上点的距离的最大值为.（）易知直线AB的斜率存在，设直线AB：，联立直线AB与椭圆的方程，整理得，设，则，.直线PA的方程为，代入，整理得.同理可得，则，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最小值，为.22.答案：（）的单调递减区间为，单调递增区间为（）（）见解析（）见解析解析：（）因为，所以.令，得，令，得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（）因为曲线上不同的三点，处的切线都经过点，所以，是方程，即的三个不同的实数解.（）令，则，当时，令，得或，令，得，所以在和上单调递增，在上单调递减.当时，当时，.因为函数有三个零点，所以，即，所以，所以，所以原不等式左边成立.又，所以要证，只需证，即证，即证，又由（）知在上单调递增，所以，故原不等式右边成立.故命题得证.（）当，时，令，则.因为，是方程的两个不同的实数解，所以，所以，所以，所以.要证，只需证，即证，只需证，即证.令，则.令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递增.又，所以，而，所以要证，只需证，即证.令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以当，时，.
