1、2019-2020学年北京市密云区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1已知点A（1，2），B（1，0），则（）A（2，0）B（2，2）C（2，2）D（0，2）2在复平面内复数zi（12i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3某工厂有男员工56人，女员工42人，用分层抽样的方法，从全体员工中抽出一个容量为28的样本进行工作效率调查，其中男员工应抽的人数为（）A16B14C28D124在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A（0，0），（1，1）B（1，2），（5，10）C（3，5），（3，5）D（2，3），（2，）5在空间中，下列结论正确的是（）A三角形确定
2、一个平面B四边形确定一个平面C一个点和一条直线确定一个平面D两条直线确定一个平面6新冠疫情期间，某校贯彻“停课不停学”号召，安排小组展开多向互动型合作学习，如图的茎叶图是两组学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是（）A甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平均数B甲组学生得分的中位数大于乙组选手的中位数C甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数D甲组学生得分的方差大于乙组选手的的方差7已知向量与的夹角为60，|1，|2，当（2）时，实数为（）A1B2CD8上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时14时，14时15时，20时21时八个时段中，入园人数最多的时段是
3、（）A13时14时B16时17时C18时19时D19时20时9在ABC中，A，BC3，AB，则C（）AB或CD或10已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，若PA1面AMN，则线段PA1的长度范围是（）A2，B2，3C，3D，二、填空题（共5小题）.11已知复数iz1+i，则复数z 12已知a，b是平面外的两条不同直线，给出下列三个论断：ab；a；b以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 13如图，在ABC中，若，则的值为 ，P是BN上的一点，若，则m的值为 14将底面直径为8
4、，高为2的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为 15如图是某地区2018年12个月的空气质量指数以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述正确的是 2月相比去年同期变化幅度最小，3月的空气质量指数最高；第一季度的空气质量指数的平均值最大，第三季度的空气质量指数的平均值最小；第三季度空气质量指数相比去年同期变化幅度的方差最小；空气质量指数涨幅从高到低居于前三位的月份为6、8、4月三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16已知复数z2i（i为虚数单位）（）求复数z的模|z|；（）求复数z的共轭复数；（）若z是关于x的方程x2mx+
5、50一个虚根，求实数m的值17已知向量与，（1，0），（2，1）（）求2；（）设，的夹角为，求cos的值；（）若向量k+与+k互相平行，求k的值18如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为正方形，F为对角线AC与BD的交点，E为棱PD的中点（）证明：EF平面PBC；（）证明：ACPB19在ABC中，a7，b8，（）求A；（）求ABC的面积20某校为了解疫情期间学生线上学习效果，进行一次摸底考试，从中选取60名同学的成绩（百分制，均为正数）分成40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100）六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，
6、回答下列问题：（）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值；（）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要多少分？21如图1，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB3，CD1，BC2，E、F分别为腰AD、BC的中点将四边形CDEF沿EF折起，使平面EFCD平面ABFE，如图2，H，M别线段EF、AB的中点（）求证：MH平面EFCD；（）请在图2所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面DHM垂直，并给出证明：（）若N为线段CD中点，在直线BF上是否存在点Q，使得NQ面DHM？如果存在，求出线段NQ
7、的长度，如果不存在，请说明理由参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知点A（1，2），B（1，0），则（）A（2，0）B（2，2）C（2，2）D（0，2）【分析】根据平面向量的坐标表示，求出即可解：点A（1，2），B（1，0），则（11，02）（2，2）故选：C2在复平面内复数zi（12i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z的坐标得答案解：zi（12i）2+i，复数zi（12i）对应的点的坐标为（2，1），位于第一象限故选：A3某工厂有男员工56人，女员
8、工42人，用分层抽样的方法，从全体员工中抽出一个容量为28的样本进行工作效率调查，其中男员工应抽的人数为（）A16B14C28D12【分析】用样本容量乘以男员工所占的比例，即为所求解：男员工所占的比例为 ，故男员工应抽的人数为 2816，故选：A4在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A（0，0），（1，1）B（1，2），（5，10）C（3，5），（3，5）D（2，3），（2，）【分析】根据平面向量中基底的要求，即共线向量不能作为作基底，即可得出结论解：选项A，01010，所以，共线，不能作为基底；选项B，1（10）250，所以，共线，不能作为基底；选项C，3（5）（3）50，所以，共线，不能
9、作为基底；选项D，2（）（3）20，所以，不共线，可以作为基底故选：D5在空间中，下列结论正确的是（）A三角形确定一个平面B四边形确定一个平面C一个点和一条直线确定一个平面D两条直线确定一个平面【分析】直接利用平面的性质的应用求出结果解：对于选项A：三角形的三角不共线，所以不共线的三点确定的平面有且只有一个，故正确对于选项B：四边形的对边不平行，确定的平面可能有四个，故错误对于选项C：只有当点不在直线上时，才能确定一个平面，故错误对于选项D：两条直线平行或相交时，确定的平面有且只有一个，故错误故选：A6新冠疫情期间，某校贯彻“停课不停学”号召，安排小组展开多向互动型合作学习，如图的茎叶图是两组
10、学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是（）A甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平均数B甲组学生得分的中位数大于乙组选手的中位数C甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数D甲组学生得分的方差大于乙组选手的的方差【分析】通过观察茎叶图，根据平均数的运算公式和中位数的定义，可确定选项A，B，C错误，根据方差的运算公式，代入数值解得甲组学生得分的方差大于乙组选手的的方差，即选项D正确解：由茎叶图可知，甲组学生得分的平均数420584，等于乙组选手的平均数420584，选项A错误；甲组学生得分的中位数83小于乙组选手的中位数84，选项B错误；甲组学生得分的中位数83不等于乙组选手的平均数84，选项C错
11、误；甲组学生得分的方差35.2大于乙组选手的的方差20，选项D正确故选：D7已知向量与的夹角为60，|1，|2，当（2）时，实数为（）A1B2CD【分析】根据两向量垂直时数量积为0，列方程求出的值解：向量与的夹角为60，|1，|2，由（2）知，（2）0，20，221cos60220，解得故选：C8上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时14时，14时15时，20时21时八个时段中，入园人数最多的时段是（）A13时14时B16时17时C18时19时D19时20时【分析】要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可解：结合函数的图象可知，在13时
12、14时，14时15时，20时21时八个时段中，图象变化最快的为16到17点之间故选：B9在ABC中，A，BC3，AB，则C（）AB或CD或【分析】利用正弦定理和题设中，BC，AB和A的值，进而求得sinC的值，则C可求解：由正弦定理，即，sinC（C时，三角形内角和大于，不合题意舍去）故选：C10已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，若PA1面AMN，则线段PA1的长度范围是（）A2，B2，3C，3D，【分析】取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，证明平面A
13、MN平面A1EF，从而得点P的轨迹是线段EF，由此能求出PA1的长度范围解：取B1C1的中点E，BB1的中点F，连结A1E，A1F，EF，取EF中点O，连结A1O，点M，N分别是棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中棱BC，CC1的中点，AMA1E，MNEF，AMMNM，A1EEFE，平面AMN平面A1EF，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，且PA1面AMN，点P的轨迹是线段EF，A1EA1F，EF，A1OEF，当P与O重合时，PA1的长度取最小值为A1O，当P与E（或F）重合时，PA1的长度取最大值为A1EA1FPA1的长度范围为，故选：D二、填空题：本大共5小题，每小题5分
14、，共25分11已知复数iz1+i，则复数z1i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案解：由iz1+i，得z故答案为：1i12已知a，b是平面外的两条不同直线，给出下列三个论断：ab；a；b以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若a，b，则ab【分析】，可由线面平行的性质定理和线面垂直的性质，可得证明解：若a，b，则ab理由：过b画一个平面，使得c，b，b，c，bc，又a，c，可得ac，又bc，可得ab故答案为：若a，b，则ab13如图，在ABC中，若，则的值为，P是BN上的一点，若，则m的值为【分析】直接利用向量的线性运算的应用和向量共线的
15、充要条件的应用求出结果解：如图：在ABC中，所以：，故由于点B、P、N三点共线所以，则：，整理得：（1+t），故：所以，解得t2故m故答案为：14将底面直径为8，高为2的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为4【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为h，底面半径为r，用r表示h，从而求出圆柱侧面积的最大值解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；设圆柱的高为h，底面半径为r，则，解得h2r；所以S圆柱侧2rh2r（2r）4（rr2）；当r2时，S圆柱侧取得最大值为4故答案为：415如图是某地区2018年12个月的空气质量指数以及相比去年同期变化幅度的数据统计图
16、表，根据图表，下面叙述正确的是2月相比去年同期变化幅度最小，3月的空气质量指数最高；第一季度的空气质量指数的平均值最大，第三季度的空气质量指数的平均值最小；第三季度空气质量指数相比去年同期变化幅度的方差最小；空气质量指数涨幅从高到低居于前三位的月份为6、8、4月【分析】根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可解：根据折现统计图可得，2月相比去年同期变化幅度最小，3月的空气质量指数最高，故正确；第一季度的空气质量指数的平均值最大，第三季度的空气质量指数的平均值最小，故正确；第三季度空气质量指数相比去年同期变化幅度的方差最小，故正确；空气质量指数涨幅从高到低居于前三位的月
17、份为6、8、9月，故错误，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16已知复数z2i（i为虚数单位）（）求复数z的模|z|；（）求复数z的共轭复数；（）若z是关于x的方程x2mx+50一个虚根，求实数m的值【分析】（）直接根据模长的定义求解即可；（）实部相等，虚部相反即可；（）推导出（2i）2（2i）m+50，由此能求出实数m的值解：（）因为复数z2i；故|z|；（）2+i；（）z是关于x的方程x2mx+50一个虚根，故（2i）2m（2i）+50（82m）+（m4）i0；因为m为实数，所以m417已知向量与，（1，0），（2，1）（）求2；（）设，
18、的夹角为，求cos的值；（）若向量k+与+k互相平行，求k的值【分析】（I）结合向量减法的坐标表示即可求解；（II）结合向量夹角公式的坐标表示即可求解；（III）结合向量平行的坐标表示即可求解解：（1）因为（1，0），（2，1），所以2（4，1）；（）cos，（III）k+（k2，1），+k（12k，k），由题意可得，k（k2）+2k10，整理可得，k210，解可得，k118如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为正方形，F为对角线AC与BD的交点，E为棱PD的中点（）证明：EF平面PBC；（）证明：ACPB【分析】（I）根据中位线定理可得EFPB，故而有EF平面PBC；（
19、II）通过证明AC平面PBD可得ACPB【解答】证明：（I）四边形ABCD是正方形，F为对角线AC与BD的交点，F是BD的中点，又E是PD的中点，EFPB，又EF平面PBC，PB平面PBC，EF平面PBC（II）四边形ABCD是正方形，ACBD，PD平面ABCD，AC平面ABCD，ACPD，又BD平面PBD，PD平面PBD，BDPDD，AC平面PBD，又PB平面PBD，ACPB19在ABC中，a7，b8，（）求A；（）求ABC的面积【分析】（）直接利用正弦定理求出结果（）直接利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果解：（）ABC中，a7，b8，所以：sinB，利用正弦定理得：，解得：sinA，由
20、于，所以：，利用三角形内角和，所以：；（）利用余弦定理：b2a2+c22accosB，解得：c3所以：20某校为了解疫情期间学生线上学习效果，进行一次摸底考试，从中选取60名同学的成绩（百分制，均为正数）分成40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100）六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：（）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值；（）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要多少分？【分析】（）设分数在70，80）内的频率为x，根
21、据频率分布直方图，列出方程求出x0.25，从而分数在70，80）内的频率为0.25，由此能补全这个频率分布直方图（）根据频率分布直方图，能估计本次考试成绩的众数、均值（）90，100）内的频率为0.05，而0.0510%（0.25+0.05），从而排名靠前10%的分界点为90a，列方程求出a2，从而推导出排名靠前10%的分界点为88，即获奖的同学至少需88分解：（）设分数在70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，得：（0.01+0.015+0.02+0.025+0.005）10+x1，可得x0.25，分数在70，80）内的频率为0.25，补全这个频率分布直方图如下：（）由图知，众数为75
22、和85，均值为：450.10+550.15+650.2+750.25+850.25+950.0570.5（）分数在80，90）内的频率为0.25，90，100）内的频率为0.05，而0.0510%（0.25+0.05），排名靠前10%的分界点为90a，则0.025a+0.0051010%，解得a2，排名靠前10%的分界点为88，即获奖的同学至少需88分21如图1，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB3，CD1，BC2，E、F分别为腰AD、BC的中点将四边形CDEF沿EF折起，使平面EFCD平面ABFE，如图2，H，M别线段EF、AB的中点（）求证：MH平面EFCD；（）请在图2所给的点中找出两
23、个点，使得这两点所在直线与平面DHM垂直，并给出证明：（）若N为线段CD中点，在直线BF上是否存在点Q，使得NQ面DHM？如果存在，求出线段NQ的长度，如果不存在，请说明理由【分析】（）由已知可证MHEF，利用面面垂直的性质即可证明MH平面EFCD（）连结CE，DH，通过证明四边形CDEH是菱形，可证CEDH，又MHDHH，可得C，E这两点所在直线与平面DHM垂直（）假设在直线BF上存在点Q，使得NQ面DHM在线段MB上取点P，使得MP0.5，连结线段CP，交EF于点L，利用面面平行的性质可得NC平面DHM，即可求解解：（）证明：四边形ABCD是等腰梯形，点H为EF的中点，点M为AB的中点，MHEF，平面EFCD平面ABFE，平面EFCD平面ABFEEF，MH平面EFCD（）解：在图2中，C，E这两个点，使得这两点所在直线与平面DHM垂直证明：连结CE，DH，CE平面EFCD，MHCE，CDEH，且CDDE，四边形CDEH是菱形，CEDH，MHDHH，C，E这两点所在直线与平面DHM垂直（）解：N为线段CD中点，假设在直线BF上存在点Q，使得NQ面DHM在线段MB上取点P，使得MP0.5，连结线段CP，交EF于点L，由题意得平面NLC平面DHM，NC平面DHM，C就是所求的点，NQ
