1、课时素养检测 二向量的加法运算(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.已知a,b,c是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)中,与向量a+b+c相等的个数为()A.5 B.4 C.3 D.2【解析】选A.依据向量加法的交换律及结合律,每个向量式均与a+b+c相等.2.若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行 km”,则向量a+b表示()A.向东北方向航行2 kmB.向北偏东30方向航行2 kmC.向北偏东60方向航行2 kmD.向东北方向航行(1+)km
2、【解析】选B.如图,易知tan =,所以=30.故a+b的方向是北偏东30.又|a+b|=2 km,故选B.【补偿训练】在矩形ABCD中,|=4,|=2,则向量+的长度等于()A.2B.4C.12D.6【解析】选B.因为+=,所以+的长度为的模的2倍.又|=2,所以向量+的长度为4.3.已知P为ABC所在平面内一点,当+=成立时,点P位于()A.ABC的AB边上B.ABC的BC边上C.ABC的内部D.ABC的外部【解析】选D.如图+=,则P在ABC的外部.4.在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点.下列结论正确的是()A.=,=B.+=C.+=+D.+=【解析】选C.因为+=,+=,所以+=
3、+.【补偿训练】如图,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式正确的是()A.+=B.+=0C.+=D.+=【解析】选A.+=.+=+=,故B错;+=,故C,D错.5.下列结论中,正确结论的个数为()如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同;在ABC中,必有+=0;若+=0,则A,B,C为一个三角形的三个顶点;若a,b均为非零向量,则a+b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选B.当a+b=0时,知不正确;由向量加法的三角形法则知正确;当A,B,C三点共线时知不正确;当向量a与向量b方向不相同时
4、|a+b|a|+|b|,故不正确.6.(多选题)向量a、b均为非零向量,下列说法中正确的是()A.向量a与b反向,且|a|b|,则向量a+b与a的方向相同B.向量a与b反向,且|a|b|,则向量a+b与a的方向相同C.向量a与b同向,则向量a+b与a的方向相同D.向量a与b同向,则向量a+b与b的方向相同【解析】选ACD.当a与b反向,且|a|b|时,向量a+b与b的方向相同,只有B错误.ACD都正确.二、填空题(每小题4分,共8分)7.化简(+)+(+)+=_.【解析】原式=(+)+(+)+=+=+=.答案:【补偿训练】若M为ABC的重心,则下列各向量中与共线的是()A.+B.+C.+D.3
5、+【解析】选C.由三角形重心性质得+=0.8.若a表示“向东走8 km”,b表示“向北走8 km”,则|a+b|=_,a+b的方向是_.【解析】如图所示,作=a,=b,则a+b=+=.所以|a+b|=|=8(km),因为AOB=45,所以a+b的方向是东北方向.答案:8 km东北方向【补偿训练】当非零向量a,b满足_时,a+b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.【解析】当|a|=|b|时,以a与b为邻边的平行四边形为菱形,则其对角线上向量a+b平分此菱形的内角.答案:|a|=|b|三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图所示,已知矩形ABCD中,|=4,设=a,=b,=c,试求|a+b+
6、c|的大小.【解析】如图所示,过D作AC的平行线,交BC的延长线于点E.因为DEAC,ADBE,所以四边形ADEC为平行四边形,所以=,=,于是a+b+c=+=+=+=+,所以|a+b+c|=|+|=8.【补偿训练】如图,已知D,E,F 分别为ABC的三边BC,AC,AB的中点.求证:+=0.【证明】由题意知:=+,=+,=+.由平面几何可知,=,=.所以+=(+)+(+)+(+)=(+)+(+)=(+)+0=+=+=0,所以+=0.10.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s,现在有风,风使雨滴以m/s的速度水平向东移动,求雨滴着地时的速度和方向.【解析】如图,用表示雨滴下落的速度,表示风使雨滴水平向东的速度.以,为邻边作平行四边形OACB,就是雨滴下落的实际速度.在RtOAC中,|=4,|=,所以|=,所以tanAOC=,所以AOC=30.故雨滴着地时的速度大小是 m/s,方向与垂直方向成30角向东.
