1、浦东新区2021学年度第二学期期中教学质量检测高三数学试卷 考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 .一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分1.已知集合，则 .2.复数z满足（i为虚数单位），则_.3.若函数的反函数图像经过点，则4.直线（为参数,）的斜率为_.5.首项为1，公比为的无穷等比数列的各项和为_.6.的二项展开式中的常数项为_. 7.已知x、y满足，则的最小值为 .8.甲乙两射
2、手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为_. 9.如果一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥母线与底面所成角的大小为 . （用反三角函数值表示）10.已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点使，则的取值范围为_11.若各项均为正数的有穷数列满足，（，），2022，则满足不等式的正整数的最大值为_.12.若函数的最大值为2，则由满足条件的实数的值组成的集合是_二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13.“”是“”的（
3、） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（ ）A.甲平均产量高，甲产量稳定 B.甲平均产量高，乙产量稳定C.乙平均产量高，甲产量稳定 D.乙平均产量高，乙产量稳定15.将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，设为以上两个函数图像不共线的三个交点，则的面积不可能为（ ） A. B. C. D.16.已知，实数满足，设，现有如下两个结论：对于任意的实数，存在实数，使得；存在实数，对于
4、任意的，都有；则（ ）A.均正确 B.均不正确C.正确，不正确 D.不正确，正确三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.ABCPB1A1C1D如图，直三棱柱中，点是线段的中点.（1）求三棱柱的体积；（2）已知为侧棱的中点，求点到平面的距离.解：18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数（1）若函数为偶函数，求实数的值；（2）当时，在中（角、所对的边分别为、），若,，且的面积为，求的值.解：19（本题满分14分）本题
5、共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？（2）某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？解：20（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知分别为椭圆：的左、右焦点， 过的直线交椭圆于、两点.（1）当直线垂直于轴时，求弦
6、长；（2）当时，求直线的方程；（3）记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.解:21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列. 若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”. (1) 是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由；(2) 已知2022项的数列中，（）. 求使得为型数列的实数的取值范围；(3) 已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列. 证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列.解：浦东数学答案22.06 1. 2. 3.4 4.
7、-1 5. 6. -160 7. 8. 0.98 9. 10. 11.109. 12.13. A 14.B 15.D 16.C17（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，直三棱柱中，点是线段的中点.ABCPB1A1C1D（1）求三棱柱的体积；（2）已知为侧棱的中点，求点到平面的距离.解：（1）； 6分（面积求对给3分）（2）（法一）设点到平面的距离为,由题知平面，即到平面的距离为2，因为点是线段的中点，所以到平面的距离为1.8分在中，9分在中，10分，11分又=，12分又由，.14分（法二）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为轴建立空间直角坐标系，由已知
8、得B（2，0，0），P（2，0，1），D（1，1，2），9分则,设平面的一个法向量是，由得，11分令，12分设点到平面的距离为，. 14分18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数（1）若函数为偶函数，求实数的值；（2）当时，在中（角、所对的边分别为、），若,，且的面积为，求的值.解：（1）（法一：定义法）， 1分任取 3分 5分所以，函数为偶函数时. 6分（法二：特值法，再验证）由函数为偶函数知,（可取不同特殊值）得,t=0 2分又当时，,，函数为偶函数， 6分（法三:观察法，需举反例），时，函数为偶函数， 2分任选，则有 4分当时，举反例，如， 5
9、分此时为非奇非偶函数，所以，函数为偶函数时； 6分（2）， 8分则有（说明） 10分由题意， 12分在中，则. 14分19（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果（1）若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？（2）某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？解：（1）解1：设服用1粒，经过小时能
10、有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克，可得， 3分解得， 5分所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果 6分（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；若，药物浓度， 7分解得， 8分若，药物浓度， 9分解得，所以； 10分若，药物浓度， 11分解得，所以； 12分综上， 13分所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时 14分20（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知分别为椭圆：的左、右焦点， 过的直线交椭圆于、两点.（1）当直线垂直于轴时，求弦长；（2）当时，求直线的方程；（3）记椭圆的右顶点为T，直线AT、BT分别交直线
11、于C、D两点，求证：以CD为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.解:（1）由题知,将代入椭圆方程得,.4分（2） 由（1）知当直线的斜率不存在时，此时，不符合题意，舍去.5分直线的斜率存在，设直线的方程为：联立得,设,则,.7分由,解得,.9分直线的方程为.10分（3）当直线的斜率不存在时，直线AT的方程为，C点坐标为，直线BT的方程为，D点坐标为，以CD为直径的圆方程为，由椭圆的对称性知若以CD为直径的圆恒过定点则定点在轴上，令，得即圆过点.12分当直线的斜率存在时，同（2）联立，直线AT的方程为，C点坐标为，同理D点坐标为，（法一）以CD为直径的圆的方程为，令，得，由，.14分得，解得，即圆
12、过点.15分综上可得，以CD为直径的圆恒过定点.16分21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列. 若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”. (1) 是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由；(2) 已知2022项的数列中，（）. 求使得为型数列的实数的取值范围；(3) 已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列. 证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列.解：(1) 是. .1分如：取，则为递减数列. （时均可） .3分(2) 当（）时，解得. .3分同理，当（）时，解得. 而此时确为型数列，故为所求. .3分(3) 首先证明：对任意，存在，使得；存在，使得. 用反证法证明，可同理得到. .1分若存在，使得当时，均有，则由型数列定义，. .1分设. 由题意，. 当时，. 而当时，故. 因此，也是型数列，与的唯一性矛盾. 证毕. .2分根据、可知，存在，使得，存在，使得. 由此，若，则存在，使得，又存在，使得. 由的证明知，如此递归选择的使得递增且递减，即为所求. .4分
