1、上海市控江中学2021-2022学年高一下期末数学试卷一、填空题1. 若，则角_.【答案】【解析】【分析】解方程，给k赋值与取交集即可得结果.【详解】 ，又 故答案为：.2. 以点为圆心，且过点的圆的方程是_.【答案】【解析】【分析】求得圆的半径，进而求得圆的方程.【详解】依题意，圆的半径为，所以圆的方程为.故答案为：3. 如果，且是第四象限的角，那么_.【答案】【解析】【分析】结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式求得正确答案.【详解】由于，且是第四象限的角，所以，所以.故答案为：4. 在相距2千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是_ 千米【答案】【解析】【详解】解：由A点向BC作
2、垂线，垂足为D，设AC=x，CAB=75，CBA=60，ACB=180-75-60=45AD=x在RtABD中，ABsin60= xx= 6 （千米）答：A、C两点之间的距离为 千米故答案为 下由正弦定理求解：CAB=75，CBA=60，ACB=180-75-60=45又相距2千米的A、B两点 ，解得AC=答：A、C两点之间的距离为 千米故答案为 5. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】齐次式分子分母同时除以，再代入即可得到答案.【详解】， ，.故答案为：.6. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据焦点在y轴的椭圆方程的条件，建立关于m的不等式组，解
3、之即可得到实数m的取值范围【详解】椭圆化成标准方程形式，得，方程表示焦点在轴上的椭圆，解得，得实数的取值范围是.故答案为：7. 若直线的一个方向向量，则与直线的夹角的余弦值_.【答案】.【解析】【分析】根据题意可得两直线的倾斜角分别为，进而可得两直线的夹角为，再由两角和的余弦公式即可求得答案.【详解】解：因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率，所以直线的倾斜角为，又因为直线的斜率，所以线的倾斜角为，所以直线与直线的夹角，所以.故答案为：.8. 在三角形中，内角、所对的边分别为、，若，则角的大小是_.【答案】.【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求解即可.【详解】由，得，由余弦定理得，因为，
4、所以，故答案：.9. 已知向量满足且，则在方向上数量投影为_.【答案】【解析】【分析】先求得，进而求得在方向上的数量投影.【详解】，所以在方向上的数量投影为.故答案：10. 函数的图象为，现有三个论断：（1）图象关于直线对称；（2）函数在区间内是增函数；（3）由函数的图象向右平移个单位长度可以得到图象.以上三个论断中，正确结论的序号为_.【答案】（1）【解析】【分析】根据三角函数的对称性、单调性、三角函数图象变换等知识求得正确答案.【详解】（1），所以（1）正确.（2），根据正弦函数的单调性可知，在区间内不是增函数.所以（2）错误.（3）函数的图象向右平移个单位长度得到，所以（3）错误.故答案
5、为：（1）11. 定义点对应到点的对应法则：，按照该对应法则，当点在线段上运动时（其中，点，点），点的轨迹方程为_.【答案】，【解析】【分析】线段所在的方程为，设，将点代入线段方程再确定范围得到答案.【详解】线段所在的方程为，设，则，故，在线段上，故，即，.故答案为：，12. 已知为单位圆（注：单位圆指的是半径为1的圆）的一条定弦，为单位圆上的点.当在中任意取值时，关于的函数的最小值记作.分析发现：当点在单位圆上运动时，的最大值为.根据以上信息，可以推导得到线段的长度为_.【答案】【解析】【分析】设，点在直线上，当时，最小为，当过圆心时，最大，再利用弦长公式计算得到答案.【详解】设，点在直线上
6、，对一个固定的点，当时，最小为，当点在单位圆上运动时，过圆心时，最大值为，此时.故答案为：二、选择题13. 若（为虚数单位），则的值可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】把代入验证即得14. 已知向量，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直以及平面向量的运算律可推出充分条件；举特例可判断必要条件是否成立.【详解】因为，所以有，即，所以；若，显然有，此时，显然不成立.所以，“”是“”的充分非必要条件.故选：A.15. 已知常数，函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是（ ）A
7、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正弦型三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】，由于且在区间上是严格增函数，所以，即的取值范围是. 故选：B16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，现在给出下列四个判断：到、四点的距离之和为定值；曲线关于直线对称；曲线所围成区域面积必小于36；曲线的长度必小于.上述判断中，错误命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义判断即可；利用两个椭圆的对称性判断即可；根据图形可得曲线所围区域在边长为6的正方体内部，即可得到面积必小于36；联立两个椭圆的
8、方程得到，即可得到曲线在半径为4的圆的内部，长度小于.【详解】当点不是交点时，若点在椭圆上，到，的距离之和为定值10，到，两点的距离之和不为定值，故错；两个椭圆关于对称，所以曲线关于对称，故正确；由图可知，曲线所围区域在边长为6的正方体内部，所以面积必小于36，故正确；将两个椭圆的方程相加可得，所以曲线在半径为4的圆的内部，长度小于，故正确.故选：A.三、解答题17. 已知向量，且，求向量的坐标.【答案】【解析】【分析】设出向量的坐标，根据已知条件列方程组，由此求得正确答案.【详解】设，则，由于，所以，解得，所以.18. .（1）将函数化为的形式，并写出其最小正周期；（2）求函数在区间上的值域
9、.【答案】（1），最小正周期 （2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简的解析式，并求得最小正周期.（2）根据三角函数值域的求法，求得函数在区间上的值域.【小问1详解】.所以的最小正周期.【小问2详解】由于，所以，所以在区间上的值域为.19. 已知复数，设复数分别对应复平面上的点.定义复数.（1）若，求；（2）当点在线段上运动时，求的最大值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】对于（1），由共轭复数定义及复数四则运算法则可得答案.对于（2），由点C坐标得表达式，继而结合C横坐标范围及函数知识得最大值.【小问1详解】因，则，.又，则.【小问2详解】由题，则线段AB方程为：，即，其中
10、.由题，设，则，其中.则故，得为实数.则=，又，则又令，其中.因，.则，使.且在上单调递增，在上单调递减.故.【点睛】关键点点睛：本题涉及复数运算，复数的几何意义及求复数的模.（1）问较为基础，（2）问计算量较大，需注意计算表达式时，不要先代入.20. 已知，圆.（1）若圆与圆外切，求实数的值；（2）当在中任意取值时，求圆心的轨迹方程；（3）是否存在定直线，使得：动圆截直线所得的弦长恒为?若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）或 （2） （3）存在，且的方程为或.【解析】【分析】（1）根据两圆外切列方程，化简求得的值.（2）求得坐标并消去参数，从而求得的轨迹方程.（3）求得
11、圆心到直线的距离，根据两平行线间的距离公式求得正确答案.【小问1详解】圆，所以圆的圆心为，半径.圆的圆心为，半径为，由于圆与圆外切，所以，解得或.【小问2详解】由（1）得，即，消去得，所以圆心的轨迹方程为.【小问3详解】设直线交圆于两点，设到直线的距离为，则，假设存在符合题意的定直线，则，即圆心与直线的距离恒为，而圆心的轨迹方程为，所以可设直线的方程为，且，解得或，所以存在符合题意的定直线，且定直线的方程为或.21. 椭圆：过点，且右焦点为，过的直线与椭圆相交于、两点设点，记、的斜率分别为和（1）求椭圆的方程；（2）如果直线的斜率等于，求出的值；（3）探讨是否为定值？如果是，求出该定值；如果不
12、是，求出的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）2.【解析】【分析】（1）根据椭圆过点，且右焦点为，得到求解.（2）设直线的方程为,联立，然后利用韦达定理和斜率公式求解. （3）分直线AB的斜率不存在和直线AB的斜率存在讨论，当直线AB的斜率不存在时求得A，B的坐标，利用斜率公式求解；当直线AB的斜率存在时，设，联立 ，然后利用韦达定理和斜率公式求解.【详解】（1）因椭圆：过点，且右焦点为，所以，所以 ，所以椭圆的方程是；（2）设直线的方程为，由得，由根与系数的关系得，所以，（3）当直线AB的斜率不存在时，则，当直线AB的斜率存在时，设，由得，由根与系数的关系得，所以，.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
