1、第二讲数形结合思想思想方法诠释数形结合思想：是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维.要点一利用数形结合思想研究函数的零点、方程的根、图象的交点问题解析(1)函数f(x)lnxxa的零点，即关于x的方程lnxxa0的实根，将方程lnxxa0化为方程lnxxa，令y1lnx，y2xa，由导数知识可知，直线y2xa与曲线y1lnx相切时有a1，如图所示，若关于x的方程lnxxa0有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(，1)故选B.(2)方程a|x|有三个不同的实数解等价于函数y与ya
2、|x|的图象有三个不同的交点在同一直角坐标系中作出函数y与ya|x|的图象，如图所示，由图易知，a0.当2x0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是_ 解析作出f(x)的图象如图所示当xm时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程f(x)b有三个不同的根，则有4mm20.又m0，解得m3.答案(3，)2设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_解析如图所示，由题意可知M在直线y1上运动，设直线y1与圆x2y21相切于点P(0,1)当x00即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(1,0)符合要求；当x00时，过M
3、作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需OMP45.特别地，当OMP45时，有x01.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为1，1答案1,1要点二利用数形结合思想解决最值问题解析(1)作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示易求得可行域的顶点A(0,1)，B(6，3)，C(6，3)，平移直线y2xz，当直线y2xz过点B(6，3)时，z取得最小值，zmin2(6)315，选择A.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即
4、求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6，故选B.答案(1)A(2)B利用数形结合思想解决最值问题的3点思路(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解(3)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解对点训练3(2017石家庄市高三二检)在平面直角坐标系中，不等式组(r为常数)表示的平面区域的面积为，若x，y满足上述约束条件，则z的最小值为()A1BC.D解析作出
5、不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知r2，解得r2.z1，表示可行域内的点与点P(3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小设切线方程为y2k(x3)，即kxy3k20，则有2，解得k或k0(舍去)，所以zmin1.故选D.答案D4(2017武汉二模)已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_解析因为(2)284，所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知APF的周长为|P
6、F|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即|AB|AF|.因为A(2,4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y0，故使APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为，故填.答案要点三利用数形结合思想解决不等式、参数问题解析(1)曲线方程可转化为(x2)2(y3)24(1y3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的下半圆，如图，依据数形结合，当直线yxb与此半圆相切时，圆心(2,3)到直线yxb的距离等于2，2，解得b12或b12，因为是下半圆，所以b12；当直线过(0,3)时，可得b3，所
7、以12b3.故选C.(2)对任意xR，都有f(x)|k1|成立，即f(x)max|k1|.因为f(x)的草图如图所示，观察f(x)的图象可知，当x时，函数f(x)max，所以|k1|，解得k或k.答案(1)C利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答对点训练5(2017河南郑州月考)使log2(x)x1成立的x的取值范围是()A(1,0) B1,0) C(2,0) D2,0)解析在同一坐标系内作出yl
8、og2(x)，yx1的图象，知满足条件的x(1,0)答案A6(2017济南一模)已知函数f(x)若f(x)ax1，则实数a的取值范围是_解析依题意得f(x)ax1.在同一平面直角坐标系中分别作出函数yf(x)与yax1(该直线过定点(0，1)、斜率为a)的图象，如图所示设直线yax1与曲线yx24x(x0)相切于点(x0，y0)，则有解得x01，a6.结合图形可知，实数a的取值范围是6,0答案6,0运用数形结合思想分析解决问题的三原则1等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明2双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的3简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单
