1、北京师大附中2018届上学期高中三年级期中考试数学试卷（文科）本试卷共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.1. 已知集合，则集合中元素的个数为（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】C【解析】由，解得：，即，则集合中元素的个数为2，故选C.2. 下列函数中为偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】A的定义域为，定义域关于原点对称，故其为偶函数；对于B. 的定义域为，由于定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于C.的图象关于对称，故其为非奇非
2、偶函数；D.根据指数函数的性质可得，的图象既不关于原点对称也不关于轴对称，其为非奇非偶函数，故选A.3. 已知直线m，n和平面，如果，那么“mn”是“m”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，即必要性成立，当时，不一定成立，必须垂直平面内的两条相交直线，即充分性不成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选B.4. 已知平面向量，则a与a+b的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】向量，设与的夹角为，则由，可得，故选A.5. 在等比数列中，则等于（ ）A. 9 B. 72 C. 9或72 D.
3、9或-72【答案】D【解析】设等比数列的公比为，解得或，故或，故选D.6. 设x，y满足则的最小值为（ ）A. 1 B. C. 5 D. 9【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点的距离的平方，由图象知A到直线的距离最小，此时距离，则距离的平方，故选B.7. 若函数的相邻两个零点的距离为，且，则函数的极值点为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的相邻两个零点的距离为，故，又，即函数为奇函数，故可得，结合得，故，令，得，经检验为极值点，故选D.8. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷(gu)影长的记
4、录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）.已知易经中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A. 72.4寸 B. 81.4寸 C. 82.0寸 D. 91.6寸【答案】C【解析】设晷影长为等差数列，公差为，则，解得，易经中所记录的惊蛰的晷影长是寸，故选C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题纸上.9. 设i为虚数单位，复数=_.【答案】【解析】，故答案为.10. 在ABC
5、中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c=4，则a=_，SABC=_.【答案】 (1). 2 (2). 11. 若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_.【答案】【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到的组合体，正方体的体积为：，四棱锥的体积为：，故组合体的体积，故答案为.点睛：本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档；由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到的组合体，分别计算他们的体积，相减可得答案.12. 已知向量a=（1,1），点A（3,
6、0），点B为直线y=2x上的一个动点，若a，则点B的坐标为_.【答案】（-3，-6）【解析】设，解得，故答案为.13. 已知函数，.（1）当k=0时，函数g（x）的零点个数为_；（2）若函数g（x）恰有2个不同的零点，则实数k的取值范围为_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】（1）当时，显然可得，当时，无零点，当时，解得，故函数的零点个数为2个；（2）当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，并且当时，即函数图象在轴的下方，函数有两个零点，即和的图象有两个交点，如图所示：函数图象的最低点对应的函数值为，函数图象最高点对应的函数值为，要使两图象有两个交点，故应满足，故答案为.点睛：本
7、题主要考查函数零点个数的判定，将方程转化为两个函数的相交个数问题是解决本题问题的基本方法，利用导数研究函数的单调性与极值是解决本题的关键，在该题中最容易出现的的错误是判断当时，函数图象始终在轴下方.14. 在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：上，若，则点P的横坐标的取值范围是_.【答案】【解析】设，由，易得，由，可得或，由得P点在圆左边弧上，结合限制条件，可得点P横坐标的取值范围为点睛:对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还
8、是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围三、解答题：本大题共6小题，共80分.15. 已知等比数列的公比q0，且.（I）求公比q和的值；（II）若的前n项和为，求证：.【答案】()q=2.()证明见解析.【解析】试题分析：（）因为为等比数列，所以由等比数列的性质得，又因为，所以，因为，所以，因为，即得因为，所以，即；（）由（1）得，所以,因为，所以试题解析：（）因为为等比数列， 且，所以，因为，所以，因为，所以因为，所以，即（）因为，所以因为所以,因为，所以考点：等比数列的通项公式和求和公式16. 已知函数.（I）求的值；（II）求函数的最小正周期和单调递增区间.【答案】(
9、)；()最小正周期.单调递增区间为.【解析】试题分析：（）因为，直接令，即可求得的值；（）由正弦函数的和差公式化简得， 由三角函数的周期公式即可求得函数的最小正周期，令，即可得函数的单调递增区间试题解析：（）因为所以（）因为所以所以周期令，解得，所以的单调递增区间为 考点：三角函数的性质17. 如图，在四棱锥E-ABCD中，AEDE，CD平面ADE，AB平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3.（I）求棱锥C-ADE的体积；（II）求证：平面ACE平面CDE；（III）在线段DE上是否存在一点F，使AF平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】()；()证明见解析；()答
10、案见解析.【解析】试题分析：（I）在中，可得，由于平面，可得；（II）由平面，可得，进而得到平面，即可证明平面平面；（III）在线段上存在一点，使平面，设为线段上的一点，且，过作交于点，由线面垂直的性质可得：可得四边形是平行四边形，于是，即可证明平面试题解析：（I）在RtADE中，因为CD平面ADE，所以棱锥C-ADE的体积为.（II）因为平面，平面，所以.又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面（III）在线段上存在一点F，且，使平面.解：设为线段上一点，且，过点作交于，则.因为平面，平面，所以，又因为所以，所以四边形是平行四边形，则.又因为平面，平面，所以平面.点睛：本题考查了线面面面垂
11、直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、平行线分线段成比例定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在，证明线面平行的几种常见形式：1、利用三角形中位线得到线线平行；2、构造平行四边形；3、构造面面平行.18. 已知点A（a，3），圆C的圆心为（1,2），半径为2.（I）求圆C的方程；（II）设a=3，求过点A且与圆C相切的直线方程；（III）设a=4，直线l过点A且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；（IV）设a=2，直线过点A，求被圆C截得的线段
12、的最短长度，并求此时的方程.【答案】（I）；（II）或；（III）或；（IV）；.【解析】试题分析：（I）由圆心和半径可得圆的方程为；（II）设切线方程的点斜式为，利用点到直线的距离为圆的半径2，可解出，当直线的斜率不存在时也满足题意；（III）由直线被圆截得的弦长为，故而圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离解出的值即可得直线方程；（IV）首先判断点在圆内，当与垂直时，直线截圆所得线段最短，可得直线的方程，再求出点到直线的距离即可求出弦长.试题解析：（I）圆C的方程为；（II）当直线斜率存在时，设切线方程的点斜式为，即则圆心到直线的距离为，解得，即切线方程为，当斜率不存在时，直线方程为，满足
13、题意，故过点A且与圆C相切的直线方程为或；（III）设直线方程为，即，由于直线被圆截得的弦长为，故而弦心距为，解得 或，即直线的方程为或；（IV），点在圆内，当与垂直时，直线截圆所得线段最短，直线的斜率为，故直线的方程为，圆心到直线的距离为，故弦长为.19. 已知函数.（I）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；（II）求的单调区间；（III）设函数，求证：当时，在上存在极小值.【答案】().()答案见解析；()证明见解析.【解析】试题分析：()求出函数的导数，问题转化为存在大于0的实数根，根据在时递增，求出的范围即可；()求出函数的导数，通过讨论的范围，判断导函数的符号，求出函数的
14、单调区间即可；()求出函数的导数，根据，得到存在满足，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可.试题解析：（I）由得.由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数a的取值范围.（II）由可得当时，所以函数的增区间为；当时，若，若，所以此时函数的增区间为，减区间为.（III）由及题设得，由可得，由（II）可知函数在上递增，所以，取，显然，所以存在满足，即存在满足，所以，在区间（1，+）上的情况如下： 0 + 极小 所以当-1a0）的直线与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求
15、m的取值范围.【答案】()；().【解析】试题分析：（I）由题意列出方程组求出，由此能求出椭圆的方程()当直线的斜率不存在时，的方程为，点B在椭圆内，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出的取值范围.试题解析：（I）解：由题意，得：又因为解得，所以椭圆C的方程为.（II）当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为x=0，此时E，F为椭圆的上下顶点，且，因为点总在以线段为直径的圆内，且，所以，故点B在椭圆内.当直线的斜率存在时，设的方程为.由方程组得，因为点B在椭圆内，所以直线与椭圆C有两个公共点，即.设，则.设EF的中点，则，所以.所以，因为点D总在以线段EF为直径的圆内，所以对于恒成立.所以.化简，得，整理，得，而（当且仅当k=0时等号成立）所以，由m0，得.综上，m的取值范围是.
