1、广东省广州市英豪学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（）A（2，2）B（1，1）C（2，2）D（1，1）2（5分）函数的定义域是（）AB1，+）CD（，13（5分）过点（1，3）且平行于直线x2y+3=0的直线方程为（）Ax2y+7=0B2x+y1=0Cx2y5=0D2x+y5=04（5分）下列函数，在区间（0，2）上是增函数的是（）ABy=2x1Cy=12xDy=（2x1）25（5分）
2、先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（）ABCD6（5分）函数y= 的图象为（）ABCD7（5分）函数的零点所在的大致区间是（）AB（1，2）C（2，3）D（e，+）8（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A25B50C125D都不对二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）直线m：x+2y1=0与直线n：2xky+3=0垂直，则k=10（5分）如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为11（5分）
3、若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=12（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=2x3，则f（2）=13（5分）已知函数f（x）=，则=14（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a=；三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（12分）已知点M（x，y）的横坐标x2，1，2，纵坐标y2，2（1）列出所有符合条件的点M的坐标；（2）求点M落在第二象限内的概率16（12分）为了了解2014-2015学年高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（
4、如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12（1）第二小组的频率是多少？（2）样本容量是多少？（3）若次数在110以上为达标，试估计全体2014-2015学年高一学生的达标率为多少？17（14分）已知函数f（x）=log2（1+x）+log2（1x）（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）求的值18（14分）如图所示，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，PA底面ABCD，ABAD，CDAD，CD=2AB，E为PC的中点，PA=AD=AB=1（1）证明：BE平面PAD；（2）证明：BE平面PDC19（14分）已知圆C：x2+y
5、28y+12=0，直线l1：ax+y+2a=0直线l2：（a1）x+2y+4=0（1）当a为何值时，直线l1与圆C相切；（2）当直线l1与l2平行时，求a的值20（14分）已知函数f（x）=a（aR）（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）在（1）、（2）的条件下，若对任意的tR，不等式f（t2+2）f（k+2t）恒成立，求实数k的取值范围广东省广州市英豪学校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）在平面直角坐标系
6、中，已知点A（1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（）A（2，2）B（1，1）C（2，2）D（1，1）考点：中点坐标公式 专题：计算题分析：利用两点的中点坐标公式，直接求解即可解答：解：由中点坐标公式可得，点A（1，2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为：（），即（1，1）故选B点评：本题是基础题，考查线段的中点坐标公式的应用2（5分）函数的定义域是（）AB1，+）CD（，1考点：函数的定义域及其求法；对数函数的定义域 专题：计算题分析：欲使函数有意义，须，解之得函数的定义域即可解答：解：欲使函数的有意义，须，解之得：故选C点评：对数的真数必须大于0是研究对数函数的定义域的基
7、本方法，其中，若底数含有参数，必须分类讨论，结论也必须分情况进行书写3（5分）过点（1，3）且平行于直线x2y+3=0的直线方程为（）Ax2y+7=0B2x+y1=0Cx2y5=0D2x+y5=0考点：直线的一般式方程；两条直线平行的判定 专题：计算题分析：由题意可先设所求的直线方程为x2y+c=0再由直线过点（1，3），代入可求c的值，进而可求直线的方程解答：解：由题意可设所求的直线方程为x2y+c=0过点（1，3）代入可得16+c=0 则c=7x2y+7=0故选A点评：本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x2y+c=04（5分）下列函数，在区间（
8、0，2）上是增函数的是（）ABy=2x1Cy=12xDy=（2x1）2考点：函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：分别判断函数的单调性即可解答：解：A函数在（0，+）上单调递减，不是增函数B函数y=2x1在R上单调递增，在（0，2）上是增函数满足条件C函数y=12x在R上单调递减，在（0，2）上不是增函数D函数=（2x1）2，的对称轴为x=，在（0，2）上不是增函数故选：B点评：本题主要考查函数单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性5（5分）先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（）ABCD考点：互斥事件与对立事件 专题：计算题分析：至少一次正面朝上的对立事件是没有正面
9、向上的骰子，先做出三次反面都向上的概率，利用对立事件的概率做出结果解答：解：由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，至少一次正面朝上的对立事件的概率为，1=故选D点评：本题考查对立事件的概率，正难则反是解题是要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了6（5分）函数y= 的图象为（）ABCD考点：指数函数的图像变换 专题：函数的性质及应用分析：根据指数函数的图象和性质即可判断解答：解：根据指数函数耳朵图象和性质，y=ax，当a1时，函数为增函数，当0a1，函数为减函数，故选：C点评：本题主要考查了指数函数的图象和性质，属于基础
10、题7（5分）函数的零点所在的大致区间是（）AB（1，2）C（2，3）D（e，+）考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：由函数的解析式求得f（2）0，f（3）0，可得f（2）f（3）0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间解答：解：函数，f（2）=ln210，f（3）=ln30，故有f（2）f（3）0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为（2，3），故选：C点评：本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题8（5分）长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A25B50C125D都不对考点：球
11、的体积和表面积；球内接多面体 专题：计算题分析：由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积解答：解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是确定直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：，所以这个球的表面积是：=50故选B点评：本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9（5分）直线m：x+2y1=0与直线n：2xky+3
12、=0垂直，则k=1考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题：直线与圆分析：利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出解答：解：直线m：x+2y1=0与直线n：2xky+3=0的斜率分别为：，直线m：x+2y1=0与直线n：2xky+3=0垂直，=1，k=1故答案为：1点评：本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题10（5分）如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为考点：几何概型；扇形面积公式 分析：先令正方形的边长为a，则S正方形=a2，则扇形所在圆的半径也为a，则S扇形=，从
13、而结合几何概型的计算公式即可求得黄豆落在阴影区域内的概率解答：解：令正方形的边长为a，则S正方形=a2，则扇形所在圆的半径也为a，则S扇形=则黄豆落在阴影区域外的概率P=1=故答案为：点评：本小题主要考查扇形面积公式、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想关键是要求出阴影部分的面积及正方形的面积属于基础题11（5分）若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则f（3）=27考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 专题：计算题分析：设出幂函数的解析式，由图象过（ 2，8）确定出解析式，然后令x=3即可得到f（3）的值解答：解：设f（x）=xa，因为幂函数图象过 （2，8），则有8=2a
14、，a=3，即f（x）=x3，f（3）=（3）3=27故答案为：27点评：考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式会根据自变量的值求幂函数的函数值12（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x0时，f（x）=2x3，则f（2）=1考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由奇函数性质得，f（0）=f（0），可得f（0）的值；再借助x0时，f（x）=2x3，可将f（2）转化为f（2）求解解答：解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，又x0时，f（x）=2x3，所以f（2）=f（2）=（223）=1故答案为：1点评：本题主要考查奇偶性的定义及其应用奇偶性求函数值，属基础题13（5分）已知
15、函数f（x）=，则=考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：将代入解析式y=log3x求出值为1，将求出的值代入解析式y=2x求出值解答：解：f（x）=，f（1）=，=f（1）=故答案为：点评：本题考查分段函数的求值问题，解决的关键是判定出自变量所属于的范围，是一道基础题14（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a=3；考点：程序框图 专题：计算题；算法和程序框图分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件n3，计算输出x=8a+7，根据输出的x值为31，确定a的值解答：解：由程序框图知：第一次循环x=2a+1，n=2；第二次循环x=2（2a+1）+1=4a+3
16、，n=3；第三次循环x=2（4a+3）+1=8a+7，n=4不满足条件n3，跳出循环，输出x=8a+7，输出的x值为31，即8a+7=31a=3故答案为：3点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法三、解答题（本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（12分）已知点M（x，y）的横坐标x2，1，2，纵坐标y2，2（1）列出所有符合条件的点M的坐标；（2）求点M落在第二象限内的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计；集合分析：（1）列举出M点的坐标，共6个，（2）基本事件共有6个，落在第二象限
17、共有2个，利用古典概型计算公式p=计算概率解答：解：（1）点M（x，y）的横坐标x2，1，2，纵坐标y2，2，所有符合条件的点M的坐标：（2，2），（2，2），（1，2），（1，2），（2，2），（2，2），（2）点M落在第二象限内的由（2，2），（1，2），其概率p=点评：本题考查列举法计算基本事件数及古典概型计算，属于基础题目，较简单16（12分）为了了解2014-2015学年高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12（1）第二小组的频率是多少？（
18、2）样本容量是多少？（3）若次数在110以上为达标，试估计全体2014-2015学年高一学生的达标率为多少？考点：频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布 专题：计算题分析：（1）根据从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12，用比值做出样本容量（2）第一问做出的样本容量可以把上面的过程写出来（3）根据上面做出的样本容量和前两个小长方形所占的比例，用所有的样本容量减去前两个的频数之和，得到结果，除以样本容量得到概率解答：解：（1）从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12样本容量是=150第二小组的频率是=0.08 （2）
19、样本容量是=150 （3）次数在110以上为达标，次数在110以上的有150（1）=132全体2014-2015学年高一学生的达标率为=0.88点评：本题考查频率分步直方图的应用，是一个基础题，这种题目解题的关键是看清图中所给的条件，知道小长方形的面积就是这组数据的频率17（14分）已知函数f（x）=log2（1+x）+log2（1x）（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）求的值考点：对数函数的定义域；函数奇偶性的判断；函数的值 专题：计算题分析：（1）利用对数的真数大于0，列不等式组即可求得f（x）的定义域； （2）直接利用函数奇偶性的定义即可判断； （3）将直
20、接代入函数表达式f（x）=log2（1+x）+log2（1x），即可求得的值解答：解：（1）1+x0且1x0x（1，1），函数的定义域为（1，1）； （2）f（x）=log2（1x）+log2（1+x）=f（x）f（x）为偶函数； （3）=1所以的值为：1点评：本题考查对数函数的定义域，判断函数的奇偶性，考查学生解决问题的能力，属于中档题18（14分）如图所示，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，PA底面ABCD，ABAD，CDAD，CD=2AB，E为PC的中点，PA=AD=AB=1（1）证明：BE平面PAD；（2）证明：BE平面PDC考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 分析：（1
21、）根据线面平行的判定定理即可证明：BE平面PAD；（2）根据线面垂直的判定定理证明：BE平面PDC；解答：解：（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQE为PC的中点，EQCD且又ABCD且，EQAB且EQ=AB四边形ABED是平行四边形，BEAQ又BE平面PAD，AQ平面PAD，BE平面PAD（2）证明：PA底面ABCD，PACD又CDAD，且PAAD=A，CD平面PAD，CDAQPA=AD，Q为PD的中点，AQPD，CDPD=D，AQ平面PDCBEAQ，BE平面PDC点评：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判断，要求熟练掌握相应的判定定理考查学生的推理能力19（14分）已知圆C：x2+y
22、28y+12=0，直线l1：ax+y+2a=0直线l2：（a1）x+2y+4=0（1）当a为何值时，直线l1与圆C相切；（2）当直线l1与l2平行时，求a的值考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；直线与圆分析：先将圆C的方程化为标准方程，求出圆的圆心，半径（1）若直线l1与圆C相切，则有圆心到直线的距离等于半径可求a（2）由l1与l2平行，结合直线的斜率关系可得关于a的方程，即可求解解答：解：将圆C的方程化为标准方程可得，x2+（y4）2=4，则此圆的圆心为（0，4）半径为2（1）若直线l1与圆C相切，则有，解可得a=（2）当a=1时，线l1与l2不平行当a1时，因为l1与l2平行，所以解可
23、得a=1点评：本题主要考查了直线与圆的相切的性质及点到直线的距离公式的应用，及两直线平行的条件的简单应用20（14分）已知函数f（x）=a（aR）（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（2）判断并证明函数的单调性；（3）在（1）、（2）的条件下，若对任意的tR，不等式f（t2+2）f（k+2t）恒成立，求实数k的取值范围考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：（1）函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，即可求得a；（2）函数f（x）在R上递增运用单调性的定义证明，注意作差和变形、定符号和下结论；（3）运用单调性，不等式
24、f（t2+2）f（k+2t）对任意的tR恒成立，即为t2+2k+2t对任意的tR恒成立，即kt22t+2=（t1）2+1，求出右边的最小值即可解答：解：（1）函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，即有a=0，解得，a=1；（2）函数f（x）在R上递增理由如下：设mn，则f（m）f（n）=1（1）=，由于mn，则2m2n，即2m2n0，2m0，2n0，则f（m）f（n）0，即有函数f（x）在R上递增；（3）由于函数f（x）在R上递增，则不等式f（t2+2）f（k+2t）对任意的tR恒成立，即为t2+2k+2t对任意的tR恒成立，即kt22t+2=（t1）2+1，当t=1时，右边去最小值1故k1故实数k的取值范围是（，1点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查函数的单调性的证明和运用：解不等式，注意不等式恒成立问题转化为求最值问题，属于中档题
