1、第四节基本不等式【知识重温】一、必记3个知识点1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：_.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号(3)两个平均数：称为正数a，b的_，称为正数a，b的_.2几个重要不等式(1)a2b2_(a，bR)(2)ab_(a，bR)(3)2_(a，bR)(4)_(ab0)(5) (a0，b0)3利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_时，xy有最小值是_(简记：“积定和最小”)(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当_时，xy有最大值是_(简记：“和定积最大”)二、必明2个易误点1求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三
2、是考虑等号成立的条件2多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性【小题热身】一、判断正误1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)“x0且y0”是“2”的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()(5)不等式a2b22ab与有相同的成立条件()(6)a2b2c2abbcca(a、b、cR)()二、教材改编2已知x1，则x的最小值为()A2B3C4D63若a，b0，且abab3，则ab的取值范围为_三、易错易混4已知0x3，则yx的最小值为()A. B8 C20 D105y2x(x0，y
3、0，x2y5，则的最小值为_利用基本不等式求最值分层深化型考向一：配凑法求最值例1(1)已知x，则f(x)4x2的最小值为_(2)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A1B1C3 D4考向二：常值代换法求最值例22021广东珠海高三检测已知x0，y0，z0，且1，则xyz的最小值为()A8B9C12D16考向三：消元法求最值例32020江苏卷，12已知5x2y2y41(x，yR)，则x2y2的最小值是_悟技法(1)配凑法的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；变形的目的是配凑出和或积为定值(2)常值代换法：根据已知条件或其变形确定定值(常数
4、)，再把其变形为1，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式(3)消元法：根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.变式练(着眼于举一反三)12021山东泰安一中联考已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B. C5 D422020山东质量测评联盟联考若x2，则函数y4x的最小值为_3若a，b，c都是正数，且abc2，则的最小值是_考点二利用基本不等式证明不等式互动讲练型例4已知a，b，c0，求证：abc.悟技法利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、
5、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到.变式练(着眼于举一反三)4已知ab，ab1，求证：a2b22(ab)考点三利用基本不等式探求参数范围互动讲练型例5(1)已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_；(2)2021江西吉安期中设正数x，y满足xy1，若不等式4对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是()A4，) B(1，)C1，) D(4，)悟技法利用基本不等式求解含参数的不等式的策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确
6、定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化.变式练(着眼于举一反三)52021福建四地六校联考已知函数f(x)x2的值域为(，04，)，则a的值是()A. B. C1 D26已知函数yx4(x1)，当xa时，y取得最小值b，则ab等于()A3 B2 C3 D8第四节基本不等式【知识重温】a0，b0ab算术平均数几何平均数2ab22xy2xy【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2解析：x1，x10x(x1)12 13当且仅当x1，即x2时，取“”x的最小值为3.故选B.答案：B3
7、解析：a，b0，ab2abab323ab230(1)(3)0又10，30ab9当且仅当ab时，即ab3时，ab取最小值9. 答案：9，+ ）4解析：由yx2 8，当且仅当x4时取等号又0x3时，yx的值随着x的增大而减小，当x3时，y取得最小值为3.故选A.答案：A5解析：x0y2x2(x)又x2 2y2x2(x)22当且仅当x，且x，4x50f(x)4x2(4x5)32 3235当且仅当4x5，即x时取等号，所以f(x)的最小值为5.(2)x2，x20f(x)x(x2)22 2224，当且仅当x2，即x3时取等号，所以a3.故选C.答案：(1)5(2)C例2解析：y0，z0，yz0，又1，x
8、0，xyzx(yz)10102 16，当且仅当，即yz3x时等号成立，xyz的最小值为16.故选D.答案：D例3解析：解法一由5x2y2y41得x2，则x2y22，当且仅当，即y2时取等号，则x2y2的最小值是.解法二4(5x2y2)4y22(x2y2)2，则x2y2，当且仅当5x2y24y22，即x2，y2时取等号，则x2y2的最小值是.答案：变式练1解析：a0，b0，ab2y()(ab)()2当且仅当，即a，b时取等号故选B.答案：B2解析：x2，x20y4x4(x2)82 848当且仅当4(x2)，即x2时取等号答案：843解析：abc2，a0，b0，c0bc2a0，0a0，b0，c0b
9、2a，c2b，a2cabc2a2b2c故abc当且仅当abc时，等号成立变式练4证明：ab，ab0，又ab1ab2 2即a2b22(ab)当且仅当ab，即ab时取等号考点三例5解析：(1)x0，a0，f(x)4x2 4，当且仅当4x，即4x2a时，f(x)取得最小值又f(x)在x3时取得最小值，a43236.(2)xy1, 且x0，y0，a0，(xy)a1a12，a214，即a230，解得a1，故选C.答案：(1)36(2)C变式练5解析：由题意可得a0，当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号；当x1，所以x10，0，所以由基本不等式，得yx152 51，当且仅当x1，即(x1)29，即x13，x2时取等号，所以a2，b1，ab3.故选C.答案：C
